Esercizio sistema di equazioni con logaritmi in basi diverse

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Esercizio sistema di equazioni con logaritmi in basi diverse #35408

avt
matteo
Sfera
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite con i logaritmi. La prima equazione è peculiare, giacché una della incognite compare alla base del logaritmo. La seconda equazione non è da meno, perché composta da due logaritmi aventi basi differenti.

Risolvere il seguente sistema di equazioni

\begin{cases}\log_{y+1}(x)=1\\ \\ 2\log_{4}(x)-\log_{2}[(y+1)^2]=2\end{cases}

Grazie.
 
 

Esercizio sistema di equazioni con logaritmi in basi diverse #35412

avt
kameor
Sfera
Il nostro intento consiste nel risolvere il sistema di equazioni

\begin{cases}\log_{y+1}(x)=1\\ \\ 2\log_{4}(x)-\log_{2}[(y+1)^2]=2\end{cases}

dobbiamo, cioè, determinare le eventuali coppie (x,y) le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le due relazioni.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio, è necessario imporre le condizioni di esistenza. Affinché \log_{y+1}(x) sia ben posto, dobbiamo richiedere che:

- la base del logaritmo sia maggiore di zero e diversa da uno, ossia

y+1>0 \ \ \ \wedge \ \ y+1\ne 1

da cui

y>-1 \ \ \ \wedge \ \ \ y\ne 0

- l'argomento sia maggiore di zero, vale a dire x>0;

Per fare in modo che la seconda equazione sia ben definita, richiediamo che gli argomenti dei logaritmi che vi compaiono siano positivi:

x>0 \ \ \ \wedge \ \ \ (y+1)^2>0

Osservazione: la disequazione di secondo grado (y+1)^2>0 è soddisfatta a patto che la base del quadrato sia non nullo.

y+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ y\ne -1

Con le informazioni ottenute, siamo in grado di esplicitare le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni

C.E. \ : \ x>0 \ \ \ \wedge \ \ \ y>-1 \ \ \ \wedge \ \ \ y\ne 0

Questi vincoli individuano la parte di piano composta dai punti (x,y) aventi ascissa positiva e ordinata maggiore di -1.

Dopo il breve preambolo sull'insieme di esistenza, occupiamo delle equazioni del sistema

\begin{cases}\log_{y+1}(x)=1\\ \\ 2\log_{4}(x)-\log_{2}[(y+1)^2]=2\end{cases}

e sfruttiamo tutte le proprietà notevoli dei logaritmi per ricondurci alle rispettive forme normali. Grazie alla formula del cambiamento di base per i logaritmi

\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

valida se a\ \mbox{e} \ c sono due numeri reali positivi e diversi da zero e b è un numero reale positivo, possiamo esprimere tutti i logaritmi in base 2:

\\ \log_{y+1}(x)=\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(y+1)} \ \ \ \mbox{per ogni} \ x>0 \ , \ y>-1 \ \mbox{e} \ y\ne 0 \\ \\ \\ \log_{4}(x)=\frac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(4)}=\frac{\log_{2}(x)}{2} \ \ \ \mbox{per ogni} \ x>0

Queste uguaglianze ci permettono di riscrivere il sistema nella forma:

\begin{cases}\dfrac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(y+1)}=1\\ \\ 2\cdot\dfrac{\log_{2}(x)}{2}-\log_{2}[(y+1)^2]=2\end{cases}

che, semplificato 2 nella seconda relazione, diventa

\begin{cases}\dfrac{\log_{2}(x)}{\log_{2}(y+1)}=1\\ \\ \log_{2}(x)-\log_{2}[(y+1)^2]=2\end{cases}

Moltiplichiamo i due membri della prima equazione per \log_{2}(y+1), mentre nella seconda esprimiamo 2 come logaritmo in base 2 di 4 e isoliamo \log_{2}(x) a sinistra dell'uguale

\begin{cases}\log_{2}(x)=\log_{2}(y+1) \\ \\ \log_{2}(x)=\log_{2}(4)+\log_{2}[(y+1)^2]\end{cases}

Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi che consente di scrivere il sistema nella forma:

\begin{cases}\log_{2}(x)=\log_{2}(y+1) \\ \\ \log_{2}(x)=\log_{2}[4(y+1)^2]\end{cases}

Tenendo a mente che due numeri reali positivi hanno lo stesso logaritmo se e solo se essi coincidono, ricaviamo:

\begin{cases}x=y+1\\ \\ x=4(y+1)^2\end{cases}

A questo punto il sistema dovrebbe essere di facile risoluzione: è sufficiente sostituire x con y+1 nella seconda relazione.

\begin{cases}x=y+1\\ \\ (y+1)=4(y+1)^2\end{cases}

Sviluppiamo il quadrato di binomio (y+1)^2, dopodiché scriviamo in forma normale l'equazione in y

\begin{cases}x=y+1\\ \\ y+1=4(y^2+2y+1)\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=y+1\\ \\ 4y^2+7y+3=0\end{cases}

Consideriamo l'equazione di secondo grado

4y^2+7y+3=0

e indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c i coefficienti del polinomio

a=4 \ \ \ , \ \ \ b=7 \ \ \ , \ \ \ c=3

Per ricavare le soluzioni, calcoliamo il discriminante associato

\Delta=b^2-4ac= 7^2-4\cdot 4\cdot 3=1

Poiché il Delta è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che si ottengono con la formula

\\ y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-7\pm\sqrt{1}}{2\cdot 4}= \\ \\ \\ =\frac{-7\pm 1}{8}=\begin{cases}\frac{-7-1}{8}=-1=y_{1}\\ \\ \frac{-7+1}{8}=-\frac{3}{4}=y_{2}\end{cases}

Le soluzioni in y sono dunque

y=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=-\frac{3}{4}

Si noti che y=-1 non è accettabile perché viola la condizione y>-1, pertanto non produce soluzioni del sistema iniziale. A y=-\frac{3}{4} occorre associare il rispettivo x avvalendoci della relazione

x=y+1

dalla quale ricaviamo

x=-\frac{3}{4}+1=\frac{1}{4}

Possiamo concludere che la coppia

(x,y)=\left(\frac{1}{4},-\frac{3}{4}\right)

è l'unica soluzione del sistema

\begin{cases}\log_{y+1}(x)=1\\ \\ 2\log_{4}(x)-\log_{2}[(y+1)^2]=2\end{cases}

Abbiamo terminato.
Ringraziano: matteo
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Os