Esercizio sistema di equazioni con logaritmi in basi diverse

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Esercizio sistema di equazioni con logaritmi in basi diverse #35408

avt
matteo
Sfera
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite con i logaritmi. La prima equazione è peculiare, giacché una della incognite compare alla base del logaritmo. La seconda equazione non è da meno, perché composta da due logaritmi aventi basi differenti.

Risolvere il seguente sistema di equazioni

log_(y+1)(x) = 1 ; 2log_(4)(x)-log_(2)[(y+1)^2] = 2

Grazie.
 
 

Esercizio sistema di equazioni con logaritmi in basi diverse #35412

avt
kameor
Sfera
Il nostro intento consiste nel risolvere il sistema di equazioni

log_(y+1)(x) = 1 ; 2log_(4)(x)-log_(2)[(y+1)^2] = 2

dobbiamo, cioè, determinare le eventuali coppie (x,y) le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le due relazioni.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio, è necessario imporre le condizioni di esistenza. Affinché log_(y+1)(x) sia ben posto, dobbiamo richiedere che:

- la base del logaritmo sia maggiore di zero e diversa da uno, ossia

y+1 > 0 ∧ y+1 ne 1

da cui

y > -1 ∧ y ne 0

- l'argomento sia maggiore di zero, vale a dire x > 0;

Per fare in modo che la seconda equazione sia ben definita, richiediamo che gli argomenti dei logaritmi che vi compaiono siano positivi:

x > 0 ∧ (y+1)^2 > 0

Osservazione: la disequazione di secondo grado (y+1)^2 > 0 è soddisfatta a patto che la base del quadrato sia non nullo.

y+1 ne 0 → y ne-1

Con le informazioni ottenute, siamo in grado di esplicitare le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni

C.E. : x > 0 ∧ y > -1 ∧ y ne 0

Questi vincoli individuano la parte di piano composta dai punti (x,y) aventi ascissa positiva e ordinata maggiore di -1.

Dopo il breve preambolo sull'insieme di esistenza, occupiamo delle equazioni del sistema

log_(y+1)(x) = 1 ; 2log_(4)(x)-log_(2)[(y+1)^2] = 2

e sfruttiamo tutte le proprietà notevoli dei logaritmi per ricondurci alle rispettive forme normali. Grazie alla formula del cambiamento di base per i logaritmi

log_(a)(b) = (log_(c)(b))/(log_(c)(a))

valida se a e c sono due numeri reali positivi e diversi da zero e b è un numero reale positivo, possiamo esprimere tutti i logaritmi in base 2:

log_(y+1)(x) = (log_(2)(x))/(log_(2)(y+1)) per ogni x > 0 , y > -1 e y ne 0 ; log_(4)(x) = (log_(2)(x))/(log_(2)(4)) = (log_(2)(x))/(2) per ogni x > 0

Queste uguaglianze ci permettono di riscrivere il sistema nella forma:

(log_(2)(x))/(log_(2)(y+1)) = 1 ; 2·(log_(2)(x))/(2)-log_(2)[(y+1)^2] = 2

che, semplificato 2 nella seconda relazione, diventa

(log_(2)(x))/(log_(2)(y+1)) = 1 ; log_(2)(x)-log_(2)[(y+1)^2] = 2

Moltiplichiamo i due membri della prima equazione per log_(2)(y+1), mentre nella seconda esprimiamo 2 come logaritmo in base 2 di 4 e isoliamo log_(2)(x) a sinistra dell'uguale

log_(2)(x) = log_(2)(y+1) ; log_(2)(x) = log_(2)(4)+log_(2)[(y+1)^2]

Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi che consente di scrivere il sistema nella forma:

log_(2)(x) = log_(2)(y+1) ; log_(2)(x) = log_(2)[4(y+1)^2]

Tenendo a mente che due numeri reali positivi hanno lo stesso logaritmo se e solo se essi coincidono, ricaviamo:

x = y+1 ; x = 4(y+1)^2

A questo punto il sistema dovrebbe essere di facile risoluzione: è sufficiente sostituire x con y+1 nella seconda relazione.

x = y+1 ; (y+1) = 4(y+1)^2

Sviluppiamo il quadrato di binomio (y+1)^2, dopodiché scriviamo in forma normale l'equazione in y

x = y+1 ; y+1 = 4(y^2+2y+1) → x = y+1 ; 4y^2+7y+3 = 0

Consideriamo l'equazione di secondo grado

4y^2+7y+3 = 0

e indichiamo con a, b e c i coefficienti del polinomio

a = 4 , b = 7 , c = 3

Per ricavare le soluzioni, calcoliamo il discriminante associato

Δ = b^2-4ac = 7^2-4·4·3 = 1

Poiché il Delta è positivo, l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che si ottengono con la formula

y_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-7±√(1))/(2·4) = (-7±1)/(8) = (-7-1)/(8) = -1 = y_(1) ; (-7+1)/(8) = -(3)/(4) = y_(2)

Le soluzioni in y sono dunque

y = -1 e y = -(3)/(4)

Si noti che y = -1 non è accettabile perché viola la condizione y > -1, pertanto non produce soluzioni del sistema iniziale. A y = -(3)/(4) occorre associare il rispettivo x avvalendoci della relazione

x = y+1

dalla quale ricaviamo

x = -(3)/(4)+1 = (1)/(4)

Possiamo concludere che la coppia

(x,y) = ((1)/(4),-(3)/(4))

è l'unica soluzione del sistema

log_(y+1)(x) = 1 ; 2log_(4)(x)-log_(2)[(y+1)^2] = 2

Abbiamo terminato.
Ringraziano: matteo
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Os