Esercizio con equazione frazionaria #35345

avt
fffrancyyy
Punto
Ciao, non riesco ad arrivare alla soluzione di questa equazione frazionaria, mi confondo nei passaggi algebrici e nei segni, potreste aiutarmi?

Risolvere la seguente equazione fratta di secondo grado

(2)/(x+1)+(5)/(1-x)+(3)/(2) = 0

Grazie mille.
 
 

Esercizio con equazione frazionaria #35373

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione

(2)/(x+1)+(5)/(1-x)+(3)/(2) = 0

Come suggerisce la traccia stessa, essa è un'equazione di secondo grado fratta, infatti l'incognita si trova anche al denominatore.

Per determinare le sue soluzioni, bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero:

C.E.: x+1 ne 0 ∧ 1-x ne 0

dove ∧ indica il connettivo logico "e".

Risolviamo le due relazioni

x+1 ne 0 → x ne-1 ; 1-x ne 0 → x ne 1

ricavando così il C.E.

C.E.: x ne-1 ∧ x ne 1

Il nostro intento ora consiste nell'esprimere l'equazione fratta in forma normale:

- il secondo membro dev'essere zero (e lo è già);

- il primo membro dev'essere espresso come un'unica frazione.

Sommiamo le frazioni algebriche determinando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed eseguendo i vari calcoli che ne derivano.

(2·2(1-x)+5·2(x+1)+3(1-x)(x+1))/(2(1-x)(x+1)) = 0

Ora che l'equazione è in forma normale, moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune e sotto le condizioni di esistenza ricaviamo l'equazione equivalente

2·2(1-x)+5·2(x+1)+3(1-x)(x+1) = 0

Calcoliamo il prodotto (1-x)(x+1) scrivendolo come differenza di quadrati e nello stesso tempo moltiplichiamo tra loro i coefficienti numerici

4(1-x)+10(x+1)+3(1-x^2) = 0

da cui

4-4x+10x+10+3-3x^2 = 0

Sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita x

-3x^2+6x+17 = 0 → 3x^2-6x-17 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado a coefficienti interi che valgono rispettivamente

a = 3 ; b = -6 ; c = -17

Osserviamo che il coefficiente di x è pari, possiamo pertanto avvalerci della formula del delta quarti per calcolare il discriminante associato all'equazione

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = (-3)^2-3·(-17) = 60

Abbiamo bisogno della sua radice quadrata, che semplificheremo mediante le proprietà dei radicali.

√((Δ)/(4)) = √(60) =

Scomponiamo 60 in fattori primi, dopodiché porteremo fuori dalla radice i fattori possibili

= √(2^2·3·5) = 2√(15)

Dalla positività del delta quarti segue che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano sfruttando la formula ridotta

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (-(-3)±2√(15))/(3) = (3-2√(15))/(3) = x_1 ; (3+2√(15))/(3) = x_2

I valori ottenuti non violano le condizioni di esistenza dell'equazione fratta, pertanto possiamo concludere che x_1 e x_2 sono sue soluzioni.

Conclusioni: l'equazione fratta è determinata e il suo insieme soluzione è

S = (3-2√(15))/(3), (3+2√(15))/(3)

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Danni
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Os