Esercizio con equazione frazionaria

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Esercizio con equazione frazionaria #35345

avt
fffrancyyy
Punto
Ciao, non riesco ad arrivare alla soluzione di questa equazione frazionaria, mi confondo nei passaggi algebrici e nei segni, potreste aiutarmi?

Risolvere la seguente equazione fratta di secondo grado

\frac{2}{x+1}+\frac{5}{1-x}+\frac{3}{2}=0

Grazie mille.
 
 

Esercizio con equazione frazionaria #35373

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione

\frac{2}{x+1}+\frac{5}{1-x}+\frac{3}{2}=0

Come suggerisce la traccia stessa, essa è un'equazione di secondo grado fratta, infatti l'incognita si trova anche al denominatore.

Per determinare le sue soluzioni, bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero:

C.E.: \ x+1\ne 0 \ \wedge \ 1-x\ne 0

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Risolviamo le due relazioni

\\ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1 \\ \\ 1-x\ne 0 \ \ \ \to \ \ \  x\ne 1

ricavando così il C.E.

C.E.: \ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1

Il nostro intento ora consiste nell'esprimere l'equazione fratta in forma normale:

- il secondo membro dev'essere zero (e lo è già);

- il primo membro dev'essere espresso come un'unica frazione.

Sommiamo le frazioni algebriche determinando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed eseguendo i vari calcoli che ne derivano.

\frac{2\cdot 2(1-x)+5\cdot 2(x+1)+3(1-x)(x+1)}{2(1-x)(x+1)}=0

Ora che l'equazione è in forma normale, moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune e sotto le condizioni di esistenza ricaviamo l'equazione equivalente

2\cdot 2(1-x)+5\cdot 2(x+1)+3(1-x)(x+1)=0

Calcoliamo il prodotto (1-x)(x+1) scrivendolo come differenza di quadrati e nello stesso tempo moltiplichiamo tra loro i coefficienti numerici

4(1-x)+10(x+1)+3(1-x^2)=0

da cui

4-4x+10x+10+3-3x^2=0

Sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita x

-3x^2+6x+17=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x^2-6x-17=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado a coefficienti interi che valgono rispettivamente

a=3 \ \ \ ; \ \ \ b=-6 \ \ \ ; \ \ \ c=-17

Osserviamo che il coefficiente di x è pari, possiamo pertanto avvalerci della formula del delta quarti per calcolare il discriminante associato all'equazione

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-3\right)^2-3\cdot(-17)=60

Abbiamo bisogno della sua radice quadrata, che semplificheremo mediante le proprietà dei radicali.

\sqrt{\frac{\Delta}{4}}=\sqrt{60}=

Scomponiamo 60 in fattori primi, dopodiché porteremo fuori dalla radice i fattori possibili

=\sqrt{2^2\cdot 3\cdot 5}=2\sqrt{15}

Dalla positività del delta quarti segue che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano sfruttando la formula ridotta

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-(-3)\pm 2\sqrt{15}}{3}=\begin{cases}\frac{3-2\sqrt{15}}{3}=x_1 \\ \\ \frac{3+2\sqrt{15}}{3}=x_2\end{cases}

I valori ottenuti non violano le condizioni di esistenza dell'equazione fratta, pertanto possiamo concludere che x_1\ \mbox{e} \ x_2 sono sue soluzioni.

Conclusioni: l'equazione fratta è determinata e il suo insieme soluzione è

S=\left\{\frac{3-2\sqrt{15}}{3},\ \frac{3+2\sqrt{15}}{3}\right\}

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Danni
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Os