Disequazione esponenziale con basi diverse

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Disequazione esponenziale con basi diverse #35145

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti potreste aiutarmi a risolvere questa disequazione esponenziale con basi diverse, che mi ha creato molte difficoltà? Le basi che ci sono di mezzo sono 2, 4 e 6:

\frac{2^{x-1}\cdot 4^{1+x}}{6^{1-x}} < 3

Grazie! La soluzione del libro è: x < \frac{\log(9)}{\log(48)}.
 
 

Disequazione esponenziale con basi diverse #35148

avt
Danni
Sfera
Ciao Johnny emt

Abbiamo una bella disequazione esponenziale. Vediamo ogni passaggio perché è delicatina.
Scriviamola così:

2^{x - 1}\cdot 2^{2x + 2}< 3\cdot 6^{1 - x}

possiamo farlo perché il denominatore è positivo per ogni x. Applichiamo le proprietà delle potenze:

\frac{2^x}{2}\cdot 4\cdot 2^{2x} < \frac{3\cdot 6}{6^x}

Semplifichiamo:

2^x\cdot 2^{2x} < \frac{9}{6^x}

2^x\cdot 2^{2x}\cdot 6^x < 9

Ora scomponiamo le potenze:

2^x\cdot 2^{2x}\cdot 2^x\cdot 3^x < 9

2^{4x}\cdot 3^x < 9

Questo passaggio è fondamentale:

(2^4 \cdot 3)^x < 9

(48)^x < 9

La base è maggiore di 1 e la disequazione conserva il verso. Passiamo ai logaritmi:

xlog(48) < log(9)

x < \frac{log(9)}{log(48)}

Ecco fatto! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR

Disequazione esponenziale con basi diverse #35164

avt
JohnnyR
Cerchio
una sola domanda:perchè 9 all'altro membro e non 3??

Re: Disequazione esponenziale con basi diverse #35179

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

Penso che si tratti di un errore di battitura (da copia incolla) nel passaggio in cui è riportato il 3, dovrebbe essere 9 anche lì. emt
Ringraziano: JohnnyR, Danni

Re: Disequazione esponenziale con basi diverse #35181

avt
Danni
Sfera
Esattamente, errore di battitura ma non da copia-incolla, proprio errore mio di lettura dal foglio, ho confuso una riga con un'altra. Mo' rimedio subito emt
Ringraziano: Omega, JohnnyR

Re: Disequazione esponenziale con basi diverse #35183

avt
Danni
Sfera
Però un momento, Johhny chiedeva perché 9 e non 3, non viceversa.

Il 9 deriva dalla moltiplicazione del 3 già presente per il 3 dovuto alla semplificazione. I coefficienti sono questi:

a sinistra 4/2 = 2
a destra 3*6 = 18
semplifico dividendo per 2 e salta fuori il 9 emt

Re: Disequazione esponenziale con basi diverse #35186

avt
Omega
Amministratore
Pensavo intendesse "perché tutto ad un tratto 9 e non più 3"...Non è così? emt
Ringraziano: JohnnyR

Re: Disequazione esponenziale con basi diverse #35188

avt
Danni
Sfera
Appunto, chiede perché 9 e non più 3, mentre per il mio errore di battitura avrebbe dovuto chiedersi perché 3 e non 9 emt

Solo Johnny può dirci a quale passaggio si riferisce.
Ringraziano: JohnnyR

Re: Disequazione esponenziale con basi diverse #35192

avt
JohnnyR
Cerchio
Grazie a tutti!comunque mi riferivo alla semplificazione!
Ringraziano: Danni
  • Pagina:
  • 1
Os