Sviluppare la potenza di un binomio alla sesta

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Sviluppare la potenza di un binomio alla sesta #35112

avt
lively86
Banned
Dovrei sviluppare la potenza di un binomio di secondo grado, usando il triangolo di Tartaglia. Ho svolto i passaggi con la teoria sotto mano, ma i calcoli mi portano a un risultato sbagliato.

Usare il triangolo di Tartaglia per sviluppare la seguente potenza di binomio

(x^2-2x)^6

Grazie mille.
 
 

Sviluppare la potenza di un binomio alla sesta #35124

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare la potenza di binomio

(x^2-2x)^6

conviene calcolare la potenza sesta del binomio A+B, avvalendoci del triangolo di Tartaglia, e operare in seguito le sostituzioni A=x^2 \ \mbox{e} \ B=-2x.

Calcoliamo quindi (A+B)^6, il cui sviluppo richiede la settima riga del triangolo di Tartaglia:

\begin{array}{c|ccccccccccccc}n=0&&&&&&&1&&&&&&\\ n=1&&&&&&1&&1&&&&&\\ n=2&&&&&1&&2&&1&&&&\\ n=3&&&&1&&3&&3&&1&&&\\ n=4&&&1&&4&&6&&4&&1&&\\ n=5&&1&&5&&10&&10&&5&&1&\\ n=6&1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\end{array}

Nell'ultima riga, infatti, sono presenti i coefficienti dei termini che compongono lo sviluppo di (A+B)^6 e sono:

1 \ \ \ 6 \ \ \ 15 \ \ \ 20 \ \ \ 15 \ \ \ 6 \ \ \  1

La parte letterale di ciascun termine dello sviluppo è data dal prodotto tra una potenza di A e una potenza di B, ossia A^{n}B^{m}. Per comprendere come attribuire gli esponenti alle lettere A\ \mbox{e}\ B, bisogna tenere a mente che lo sviluppo di (A+B)^6:

- è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di A e secondo le potenze crescenti di B;

- è un polinomio omogeneo di grado 6, vale a dire che ogni termine dello sviluppo è di sesto grado.

Con le informazioni in nostro possesso, possiamo scrivere la relazione

\\ (A+B)^{6}=\\ \\ = A^6B^0+6\cdot A^{5}B^{1}+15\cdot A^{4}B^{2}+20\cdot A^{3}B^{3}+15\cdot A^{2}B^{4}+6\cdot A^{1}B^{5}+A^{0}B^6= \\ \\ = A^6+6A^5B+15A^4B^2+20A^{3}B^3+15A^2B^4+6AB^5+B^6

che possiamo sfruttare per ricavare lo sviluppo di (x^2-2x)^6: basta sostituire A con x^2, B con -2x e svolgere i calcoli, avvalendoci delle proprietà delle potenze e della regola dei segni.

\\ (x^2-2x)^{6}= \\ \\ =(x^2)^{6}+6(x^2)^5(-2x)+15(x^2)^4(-2x)^2+20(x^2)^3(-2x)^3+15(x^2)^2(-2x)^4+\\ \\ +6(x^2)(-2x)^5+(-2x)^{6}=

Calcoliamo dapprima le potenze dei monomi

\\ =x^{12}+6x^{10}(-2x)+15x^{8}\cdot 4x^2+20x^{6}(-8x^3)+15x^4(16x^4)+\\ \\ +6x^2(-32x^5)+64x^6=

e determiniamo i vari prodotti

=x^{12}-12x^{11}+60x^{10}-160x^{9}+240x^{8}-192x^{7}+64x^{6}

In definitiva, lo sviluppo associato alla potenza sesta del binomio x^2-2x è:

\\ (x^2-2x)^{6}= \\ \\ =x^{12}-12x^{11}+60x^{10}-160x^{9}+240x^{8}-192x^{7}+64x^{6}

Ecco fatto.
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Os