Disequazione di primo grado parametrica?

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Disequazione di primo grado parametrica? #35061

avt
Dam
Cerchio
Buongiorno ragazzi...ho questa disequazione parametrica di primo grado

(a-2)x-3a-1 >= 0

Il risultato dovrebbe essere

x >= 3a+1 / a-2

Ora devo discuterla..come faccio? Potete spiegarmi come risolverla?

Grazie mille emt
 
 

Disequazione di primo grado parametrica? #35070

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dam emt

La discussione va effettuata prima di dividere per il termine (a-2), perché al variare del parametro a tale termine potrebbe assumere segni diversi, e dunque non potremmo sapere a priori se modificare o meno il simbolo di disequazione.

Scriviamo la disequazione nella forma

(a-2)x\geq 3a+1

Adesso distinguiamo tra tre casi, a seconda del segno che può assumere (a-2)...

1) Se a-2>0, ossia a>2, tutte e sole le soluzioni della disequazione sono date da

x\geq \frac{3a+1}{a-2}

2) Se a-2=0, ossia a=2, la disequazione si riduce a

0>7

ed è evidentemente impossibile.

3) Se a-2<0, vale a dire a<2, le soluzioni sono date da

x\leq \frac{3a+1}{a-2}

e abbiamo cambiato il verso del simbolo proprio perché abbiamo diviso entrambi i membri per una quantità negativa. emt

Ti consiglio questa lettura: disequazioni letterali di primo grado - click!
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, AleSecchia, Donatellol

Disequazione di primo grado parametrica? #35076

avt
Dam
Cerchio
la perplessità era dovuta al fatto che quella disequazione è messa a sistema con quest'altra
(a-2)x <= 2a

è quindi possibile che alla fine il sistema risulti impossibile sia per a < 2 che per a>2 che per a = 2 ?

Disequazione di primo grado parametrica? #35087

avt
Omega
Amministratore
Se si tratta di un sistema serve un'analisi ulteriore.

La seconda disequazione si risolve con considerazioni analoghe alla prima:

Ad a>2 corrispondono soluzioni della forma x\leq \frac{2a}{a-2}.

Per a=2 la disequazione diventa 0\leq 4, verificata per ogni x.

Ad a<2 corrispondono soluzioni del tipo x\geq \frac{2a}{a-2}.

--------

Passiamo al sistema: fortunatamente emt abbiamo le medesime condizioni per entrambe le disequazioni, e quindi...

1) Se a>2 il sistema è dato da

\begin{cases}x\geq \frac{3a+1}{a-2}\\ x\leq \frac{2a}{a-2}\end{cases}

e ammette soluzioni date da

\frac{3a+1}{a-2}\leq x\leq \frac{2a}{a-2}

per determinati valori del parametro a. Quali? Quelli per cui

\begin{cases}a> 2\\ \frac{3a+1}{a-2}\leq \frac{2a}{a-2}\end{cases}



2) Se a=2, la prima disequazione del sistema è impossibile, la seconda è verificata per ogni x. Il sistema è impossibile.



3) Se a<2, il sistema diventa

\begin{cases}x\leq \frac{3a+1}{a-2}\\ x\geq \frac{2a}{a-2}\end{cases}

e il sistema ammette soluzioni date da

\frac{2a}{a-2}\leq x\leq \frac{3a+1}{a-2}

a patto che il parametro a soddisfi il sistema

\begin{cases}a< 2\\ \frac{3a+1}{a-2}\geq \frac{2a}{a-2}\end{cases}

A te i conti emt
Ringraziano: Pi Greco

Disequazione di primo grado parametrica? #35093

avt
Dam
Cerchio
grazie mille emt
Ringraziano: Omega, Danni

Disequazione di primo grado parametrica? #35102

avt
Danni
Sfera
Ciao Dam emt

Una cosa è una disequazione ed un'altra un sistema che è piuttosto complesso emt

Dunque è

\begin{cases}(a - 2)x \geq 3a + 1\\(a - 2)x \leq 2a\end{cases}

Diciamo subito che il sistema è impossibile per

a = 2

Lavoriamo quindi con

a \neq 2

Ora dobbiamo vedere come sono posizionate le soluzioni delle associate sull'asse delle ascisse.

La prima soluzione è

x = \frac{3a + 1}{a - 2}

La seconda è

x = \frac{2a}{a - 2}

Confrontiamo le soluzioni per vedere quale stia a sinistra (la minore) e quale a destra (la maggiore)

\frac{3a + 1}{a - 2}\geq \frac{2a}{a - 2}

verificata per

a \leq - 1\;\vee a > 2

Per questi valori, la prima soluzione è maggiore della seconda.

Per

a \leq - 1

il coefficiente (a - 2) è negativo e le disequazioni cambiano verso. La prima soluzione è maggiore della seconda

1)\;\;\begin{cases}a \leq - 1\\x \leq \frac{3a + 1}{a - 2}\\x \geq \frac{2a}{a - 2}\end{cases}

verificato per

\frac{2a}{a - 2} \leq x \leq \frac{3a + 1}{a - 2}

Per

-1 < a < 2

le disequazioni sono le stesse del caso precedente perché il coefficiente della variabile è ancora negativo ma le soluzioni sono disposte inversamente: la seconda è maggiore della prima.

2)\;\;\begin{cases}- 1 < a < 2\\x \leq \frac{3a + 1}{a - 2}\\x \geq \frac{2a}{a - 2}\end{cases}

Il sistema è impossibile.

Per

a > 2

il coefficiente della variabile è positivo e le disequazioni non cambiano verso. La prima soluzione è maggiore della seconda.

3)\;\; \begin{cases}a > 2\\ x \geq \frac{3a + 1}{a - 2}\\ x \leq \frac{2a}{a - 2}\end{cases}

Il sistema è ancora impossibile.

Il nostro sistema è verificato quindi per

a \leq - 1

Puoi sempre effettuare una verifica sostituendo volta per volta un qualunque valore del parametro 'a' nei tre sistemi:

1)\;\;\begin{cases}a = - 2\\x \leq \frac {5}{4}\\x \geq 1 \end{cases}

verificato per

1 \leq x \leq \frac{5}{4}

2)\;\;\begin{cases}a = 0\\x \leq -\frac {1}{2}\\x \geq 0\end{cases}

non verificato.

3)\;\; \begin{cases}a = 3\\ x \geq 10 \\ x \leq 6\end{cases}

non verificato.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Disequazione di primo grado parametrica? #35140

avt
Dam
Cerchio
Grazie Danni...purtroppo me ne sto accorgendo della complicatezza (si può dire?) di tali sistemi...grazie mille anche a te...e non ti preoccupare assolutamente...nessun disturbo..anzi !!!!
Ringraziano: Danni

Disequazione di primo grado parametrica? #35147

avt
Danni
Sfera
Grazie Dam emt
In effetti i sistemi di disequazioni parametriche sono delicati e comportano lo studio di intervalli che risultano dal confronto di tutte le soluzioni delle equazioni associate. Qui erano solo due disequazioni, pensa un sistema a quattro emt
Ma quando hai appreso questo concetto il meccanismo viene da sé.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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