Equazione esponenziale fratta con radicali

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Equazione esponenziale fratta con radicali #35020

avt
JohnnyR
Cerchio
Buonasera, potreste aiutarmi con questa equazione esponenziale visto che presenta una radice con cui non so come comportarmi?

Il testo dell'equazione è questo:

(1)/(4)·7^(2-x) = (7)/(21+(√(7))^x)

Grazie in anticipo!
 
 

Equazione esponenziale fratta con radicali #35029

avt
Danni
Sfera
Per poter risolvere l'equazione esponenziale

(1)/(4)·7^(2-x) = (7)/(21+(√(7))^x)

utilizzeremo le proprietà delle potenze, in combinazione con le proprietà dei radicali con l'obiettivo di esprimere l'equazione in una forma di facile risoluzione.

Per la proprietà sul rapporto di due potenze con la stessa base - letta al contrario - il termine 7^(2-x) obbedisce all'uguaglianza

7^(2-x) = (7^2)/(7^(x)) = (49)/(7^(x))

In base alla definizione di potenze con esponente fratto, inoltre, si ha l'identità

(√(7))^(x) = (7^((1)/(2)))^(x) = 7^((x)/(2))

Con le informazioni in nostro possesso, l'equazione di partenza si riscrive nella forma

(1)/(4)·(49)/(7^(x)) = (7)/(21+7^((x)/(2)))

Avvaliamoci a questo punto di una sostituzione così da semplificare i calcoli. Ponendo

t = 7^((x)/(2)) → t^2 = 7^(x)

e l'equazione diventa

(1)/(4)·(49)/(t^2) = (7)/(21+t)

La sostituzione ha trasformato l'equazione data in un'equazione fratta, ben definita nel momento in cui i denominatori contenenti l'incognita t sono diversi da zero:

C.E.: t^2 ne 0 ∧ 21+t ne 0

da cui

C.E.: t ne 0 ∧ t ne-21

Una volta imposte le condizioni di esistenza, possiamo procedere con il calcolo del minimo comune denominatore

(49(21+t))/(4t^2(21+t)) = (28t^2)/(4t^2(21+t))

Una volta cancellati i denominatori, ci riconduciamo all'equazione di secondo grado

49(21+t) = 28t^2

Dividiamo i due membri per 7

7(21+t) = 4t^2

e scriviamo l'equazione in forma normale

147+7t-4t^2 = 0 → 4t^2-7t-147 = 0

Posto

a = 4 , b = -7 , c = -147

calcoliamo le soluzioni con la formula del discriminante:

Δ = b^2-4ac = (-7)^(2)-4·4·(-147) = 49-2352 = 2401

per cui le soluzioni sono:

t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (7±√(2401))/(8) = (7±49)/(8) = (7-49)/(8) = -(21)/(4) = t_1 ; (7+49)/(8) = 7 = t_2

Ribadiamolo:

t = -(21)/(4) , t = 7

rappresentano le soluzioni dell'equazione in t, non quelle richieste dall'esercizio. Notiamo infatti che dobbiamo ancora ritornare nell'incognita x ricordandoci della sostituzione fatta!

Poiché t = 7^((x)/(2)), la relazione

t = -(21)/(4)

si tramuta nell'equazione esponenziale

7^((x)/(2)) = -(21)/(4)

che però è impossibile perché il primo membro è certamente positivo, mentre il secondo è negativo: non può esistere alcuna x che realizza l'uguaglianza.

D'altra la relazione t = 7 diventa

7^((x)/(2)) = 7

da cui uguagliando gli esponenti

(x)/(2) = 1 → x = 2

Possiamo concludere che l'equazione

(1)/(4)·7^(2-x) = (7)/(21+(√(7))^x)

ammette come unica soluzione x = 2.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, LittleMar, JohnnyR

Equazione esponenziale fratta con radicali #35033

avt
JohnnyR
Cerchio
Grazie mille!
Ringraziano: Danni
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Os