Equazione esponenziale fratta #34998

avt
JohnnyR
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione esponenziale fratta, in cui compaiono diverse potenze con basi differenti.

Risolvere la seguente equazione esponenziale.

\frac{3^{2-x}-3^{1-x}}{9^{x+1}-3^{2x+1}}=27^{1+3x}

Grazie.
 
 

Equazione esponenziale fratta #35001

avt
Danni
Sfera
Consideriamo l'equazione esponenziale

\frac{3^{2-x}-3^{1-x}}{9^{x+1}-3^{2x+1}}=27^{1+3x}

Il nostro intento consiste nel determinare tutti i possibili valori dell'incognita che realizza l'uguaglianza. Osserviamo che proprio perché l'incognita si presenta al denominatore, dobbiamo necessariamente imporre le condizioni di esistenza.

Affinché l'equazione sia ben posta, dobbiamo richiedere che:

9^{x+1}-3^{2x+1}\ne 0

Sfruttiamo le proprietà delle potenze cosicché le basi coincidano

\\ (3^{2})^{x+1}-3^{2x+1}\ne 0 \\ \\ 3^{2x+2}-3^{2x+1}\ne 0 \\ \\ 3^{2x+2}\ne 3^{2x+1}

Poiché le basi sono uguali, è sufficiente imporre che gli esponenti siano differenti

2x+2\ne 2x+1\ \ \ \to \ \ \ 2\ne 1

Indipendentemente dal valore assunto da x, la disuguaglianza 2\ne 1 è sempre e comunque vera: ciò significa che l'equazione è ben posta per qualunque valore di x.

Occupiamoci dell'equazione: il nostro obiettivo consiste nell'utilizzare le proprietà delle potenze per far sì che i termine esponenziali abbiano la medesima base e - nel caso sia possibile - lo stesso esponente.

Partiamo dai termini al numeratore

\\ 3^{2-x}=3^{2}\cdot 3^{-x} \\ \\ 3^{1-x}=3\cdot 3^{-x}

Per quanto concerne i termini a denominatore, scriviamo invece

\\ 9^{x+1}=9\cdot 9^{x}=9\cdot 3^{2x} \\ \\ 3^{2x+1}=3\cdot 3^{2x}

Infine, occupiamoci del secondo membro

27^{1+3x}=(3^3)^{1+3x}=3^{3+9x}

Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di esprimere l'equazione nella forma

\frac{9\cdot 3^{-x}-3\cdot 3^{-x}}{9\cdot 3^{2x}-3\cdot 3^{2x}}=3^{3+9x}

Sommiamo i termini simili

\frac{6\cdot 3^{-x}}{6\cdot 3^{2x}}=3^{3+9x}

semplifichiamo 6

\frac{3^{-x}}{3^{2x}}=3^{3+9x}

e utilizziamo la proprietà sul quoziente di due potenze con la stessa base, per ricavare l'equazione

3^{-x-2x}=3^{3+9x} \ \ \ \to \ \ \ 3^{-3x}=3^{3+9x}

Da qui alla soluzione, il passo è breve: è sufficiente uguagliare gli esponenti e considerare l'equazione di primo grado

-3x=3+9x \ \ \ \to \ \ \ -12x=3

da cui cambiando i segni ai due membri e dividendo per 12 otteniamo

x=-\frac{3}{12} \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{1}{4}

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, JohnnyR

Equazione esponenziale fratta #35005

avt
JohnnyR
Cerchio
Grazie di cuore!
Ringraziano: Danni
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Os