Equazione esponenziale fratta

Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione esponenziale fratta, in cui compaiono diverse potenze con basi differenti.

Risolvere la seguente equazione esponenziale.



Grazie.

Consideriamo l'equazione esponenziale



Il nostro intento consiste nel determinare tutti i possibili valori dell'incognita che realizza l'uguaglianza. Osserviamo che proprio perché l'incognita si presenta al denominatore, dobbiamo necessariamente imporre le condizioni di esistenza.

Affinché l'equazione sia ben posta, dobbiamo richiedere che:



Sfruttiamo le proprietà delle potenze cosicché le basi coincidano



Poiché le basi sono uguali, è sufficiente imporre che gli esponenti siano differenti



Indipendentemente dal valore assunto da , la disuguaglianza è sempre e comunque vera: ciò significa che l'equazione è ben posta per qualunque valore di .

Occupiamoci dell'equazione: il nostro obiettivo consiste nell'utilizzare le proprietà delle potenze per far sì che i termine esponenziali abbiano la medesima base e - nel caso sia possibile - lo stesso esponente.

Partiamo dai termini al numeratore



Per quanto concerne i termini a denominatore, scriviamo invece



Infine, occupiamoci del secondo membro



Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di esprimere l'equazione nella forma



Sommiamo i termini simili



semplifichiamo 6



e utilizziamo la proprietà sul quoziente di due potenze con la stessa base, per ricavare l'equazione



Da qui alla soluzione, il passo è breve: è sufficiente uguagliare gli esponenti e considerare l'equazione di primo grado



da cui cambiando i segni ai due membri e dividendo per 12 otteniamo



L'esercizio è concluso.

Grazie di cuore!