Sistema di equazioni goniometriche con tangenti

Ho iniziato da poco i sistemi di equazioni goniometriche in due incognite e come c'era da aspettarsi, non sono proprio capace a svolgere gli esercizi. Potreste farmi vedere il procedimento dettagliato del seguente?

Risolvere il seguente sistema trigonometrico



Grazie.

L'esercizio ci chiede di risolvere il sistema di equazioni



In altre parole, stiamo ricercando tutte le coppie le cui coordinate soddisfano contemporaneamente le equazioni.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, occorre però imporre le condizioni di esistenza richieste dalla funzione tangente.

Affinché siano ben posti, dobbiamo richiedere che i rispettivi argomenti siano diversi da a meno di multipli di



dove sono numeri interi.

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, occupiamoci del sistema



che possiamo risolvere operando le seguenti sostituzioni



mediante le quali ricaviamo:



Esso è un sistema lineare nelle incognite che possiamo determinare con il metodo di sostituzione (ad esempio).

Usiamo la prima relazione per esprimere in termini di



dopodiché sostituiamo l'espressione al posto di nella seconda



Una volta sommati i monomi simili ed espressa la seconda equazione in forma normale, il sistema diventa:



Ottenuto , ricaviamo il corrispettivo per sostituzione all'indietro



Ottimo! Abbiamo ottenuto le soluzioni nelle indeterminate , però non abbiamo ancora terminato: dobbiamo ritornare nelle incognite originarie tenendo conto delle sostituzioni effettuate.

Poiché , il sistema



si tramuta in



Non ci resta altro da fare se non risolvere le due equazioni trigonometriche elementari (e indipendenti tra loro)



Abbiamo tutte le informazioni per concludere che le coppie che soddisfano il sistema sono:



Ecco fatto!