Esercizio su un'equazione di primo grado fratta

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Esercizio su un'equazione di primo grado fratta #34821

avt
fabio61
Punto
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questa equazione di primo grado fratta. Mi potreste aiutare?

Determinare i valori di x che soddisfano la seguente equazione fratta di primo grado

(3)/(x^3-1)-(3)/(x^3+1) = (1)/(x^4+x^3-x-1)-(1)/((x^2+1)^2-x^2)

Grazie mille a tutti.
 
 

Esercizio su un'equazione di primo grado fratta #34829

avt
Danni
Sfera
L'esercizio ci chiede di determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione frazionaria di primo grado

(3)/(x^3-1)-(3)/(x^3+1) = (1)/(x^4+x^3-x-1)-(1)/((x^2+1)^2-x^2)

Procediamo con la fattorizzazione dei polinomi che costituiscono i vari denominatori.

Scomponiamo il primo denominatore con la regola relativa alla differenza di cubi

x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)

Per quanto concerne il secondo denominatore, esso è una somma di cubi, per cui si scompone come segue:

x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)

Il terzo denominatore richiede qualche passaggio in più: raccogliamo parzialmente x^3 tra i primi due addendi e il segno meno tra gli ultimi due

x^4+x^3-x-1 = x^3(x+1)-(x+1) =

Raccogliamo il fattore comune x+1

= (x+1)(x^3-1) =

e scomponiamo, infine, la differenza di cubi

= (x+1)(x-1)(x^2+x+1)

Occupiamoci dell'ultimo denominatore che può essere scomposto vedendolo come differenza dei quadrati di x^2+1 e x:

(x^2+1)^2-x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x) = (x^2-x+1)(x^2+x+1)

Osservazione: i polinomi

x^2+x+1 e x^2-x+1

sono entrambi falsi quadrati e non possono essere ulteriormente scomposti. La teoria dei polinomi garantisce, inoltre, che essi sono diversi da zero per ogni x reale.

Riscriviamo l'equazione sostituendo al posto dei denominatori le rispettive fattorizzazioni

(3)/((x-1)(x^2+x+1))-(3)/((x+1)(x^2-x+1)) = (1)/((x-1)(x+1)(x^2+x+1))-(1)/((x^2-x+1)(x^2+x+1))

Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli.

Analizziamo la non nullità del primo denominatore

(x-1)(x^2+x+1) ne 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se lo sono anche i singoli fattori che lo compongono, vale a dire:

x-1 ne 0 ∧ x^2+x+1 ne 0

Nota: ∧ indica la congiunzione logica "e".

Dalla prima condizione ricaviamo x ne 1. La seconda è invece soddisfatta per ogni x reale, essendo un falso quadrato notevole.

Occupiamoci del secondo denominatore

(x+1)(x^2-x+1) ne 0

Interviene anche in questo caso la legge di annullamento del prodotto, mediante la quale ricaviamo

x+1 ne 0 → x ne-1

mentre la relazione

x^2-x+1 ne 0

è soddisfatta per ogni x∈R perché il primo membro è un falso quadrato notevole, sempre diverso da zero.

Continuiamo con il terzo denominatore

(x-1)(x+1)(x^2+x+1) ne 0

da cui

x-1 ne 0 → x ne 1 ; x+1 ne 0 → x ne-1 ; x^2+x+1 ne 0 per ogni x∈R

Infine il quarto

(x^2+x+1)(x^2-x+1) ne 0

Tale relazione è soddisfatta per ogni x reale perché al primo membro si manifesta il prodotto tra due falsi quadrati notevoli.

Con le informazioni in nostro possesso possiamo esplicitare l'insieme di esistenza dell'equazione

C.E.: x ne-1 ∧ x ne 1

Continuiamo la risoluzione senza mai perdere di vista tali vincoli! I prossimi passaggi algebrici serviranno a esprimere l'equazione fratta in forma normale.

Trasportiamo tutte le frazioni algebriche al primo membro

(3)/((x-1)(x^2+x+1))-(3)/((x+1)(x^2-x+1))-;+(1)/((x-1)(x+1)(x^2+x+1))+(1)/((x^2-x+1)(x^2+x+1)) = 0

calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore che è

mcm = (x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

ed esprimiamo l'equazione a denominatore comune

(3(x+1)(x^2-x+1)-3(x-1)(x^2+x+1)-(x^2-x+1)+x^2-1)/((x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)) = 0

Sbarazziamoci del denominatore che ha ormai terminato il suo compito e scriviamo l'equazione equivalente

3(x+1)(x^2-x+1)-3(x-1)(x^2+x+1)-;+(x^2-x+1)+x^2-1 = 0

Sviluppiamo i prodotti

3(x^3-x^2+x+x^2-x+1)-3(x^3+x^2+x-x^2-x-1)+;-x^2+x-1+x^2-1 = 0

e sommiamo i termini simili all'interno delle parentesi tonde

3(x^3+1)-3(x^3-1)-x^2+x-1+x^2-1 = 0

Svolgiamo i calcoli rimanenti

3x^3+3-3x^3+3-x^2+x-1+x^2-1 = 0

Cancelliamo i termini opposti e sommiamo tra loro i monomi simili, ricavando così l'equazione di primo grado

x+4 = 0

che si risolve trasportando al secondo membro il termine noto cambiandogli il segno

x = -4

Il valore ottenuto non viola le condizioni di esistenza, pertanto è soluzione dell'equazione data, che è quindi determinata e con insieme soluzione S = -4.

Abbiamo fatto!
Ringraziano: Pi Greco, fabio61, RichardMaths
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