Esercizio su un'equazione di primo grado fratta

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Esercizio su un'equazione di primo grado fratta #34821

avt
fabio61
Punto
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questa equazione di primo grado fratta. Mi potreste aiutare?

Determinare i valori di x che soddisfano la seguente equazione fratta di primo grado

\frac{3}{x^3-1}-\frac{3}{x^3+1}=\frac{1}{x^4+x^3-x-1}-\frac{1}{(x^2+1)^2-x^2}

Grazie mille a tutti.
 
 

Esercizio su un'equazione di primo grado fratta #34829

avt
Danni
Sfera
L'esercizio ci chiede di determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione frazionaria di primo grado

\frac{3}{x^3-1}-\frac{3}{x^3+1}=\frac{1}{x^4+x^3-x-1}-\frac{1}{(x^2+1)^2-x^2}

Procediamo con la fattorizzazione dei polinomi che costituiscono i vari denominatori.

Scomponiamo il primo denominatore con la regola relativa alla differenza di cubi

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

Per quanto concerne il secondo denominatore, esso è una somma di cubi, per cui si scompone come segue:

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

Il terzo denominatore richiede qualche passaggio in più: raccogliamo parzialmente x^3 tra i primi due addendi e il segno meno tra gli ultimi due

x^4+x^3-x-1=x^3(x+1)-(x+1)=

Raccogliamo il fattore comune x+1

=(x+1)(x^3-1)=

e scomponiamo, infine, la differenza di cubi

=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)

Occupiamoci dell'ultimo denominatore che può essere scomposto vedendolo come differenza dei quadrati di x^2+1\ \mbox{e} \ x:

\\ (x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x)=\\ \\ =(x^2-x+1)(x^2+x+1)

Osservazione: i polinomi

x^2+x+1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x^2-x+1

sono entrambi falsi quadrati e non possono essere ulteriormente scomposti. La teoria dei polinomi garantisce, inoltre, che essi sono diversi da zero per ogni x reale.

Riscriviamo l'equazione sostituendo al posto dei denominatori le rispettive fattorizzazioni

\\ \frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)}=\\ \\ \\ =\frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}-\frac{1}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}

Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli.

Analizziamo la non nullità del primo denominatore

(x-1)(x^2+x+1)\ne 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se lo sono anche i singoli fattori che lo compongono, vale a dire:

x-1\ne 0 \ \wedge \ x^2+x+1\ne 0

Nota: \wedge indica la congiunzione logica "e".

Dalla prima condizione ricaviamo x\ne 1. La seconda è invece soddisfatta per ogni x reale, essendo un falso quadrato notevole.

Occupiamoci del secondo denominatore

(x+1)(x^2-x+1)\ne 0

Interviene anche in questo caso la legge di annullamento del prodotto, mediante la quale ricaviamo

x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

mentre la relazione

x^2-x+1\ne 0

è soddisfatta per ogni x\in\mathbb{R} perché il primo membro è un falso quadrato notevole, sempre diverso da zero.

Continuiamo con il terzo denominatore

(x-1)(x+1)(x^2+x+1)\ne 0

da cui

\\ x-1\ne 0\ \ \to \ \ x\ne 1 \\ \\ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1 \\ \\ x^2+x+1\ne 0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Infine il quarto

(x^2+x+1)(x^2-x+1)\ne 0

Tale relazione è soddisfatta per ogni x reale perché al primo membro si manifesta il prodotto tra due falsi quadrati notevoli.

Con le informazioni in nostro possesso possiamo esplicitare l'insieme di esistenza dell'equazione

C.E.:\ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1

Continuiamo la risoluzione senza mai perdere di vista tali vincoli! I prossimi passaggi algebrici serviranno a esprimere l'equazione fratta in forma normale.

Trasportiamo tutte le frazioni algebriche al primo membro

\\ \frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)}- \\ \\ \\ +\frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}+\frac{1}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=0

calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore che è

mcm=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

ed esprimiamo l'equazione a denominatore comune

\frac{3(x+1)(x^2-x+1)-3(x-1)(x^2+x+1)-(x^2-x+1)+x^2-1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=0

Sbarazziamoci del denominatore che ha ormai terminato il suo compito e scriviamo l'equazione equivalente

\\ 3(x+1)(x^2-x+1)-3(x-1)(x^2+x+1)- \\ \\ +(x^2-x+1)+x^2-1=0

Sviluppiamo i prodotti

\\ 3(x^3-x^2+x+x^2-x+1)-3(x^3+x^2+x-x^2-x-1)+\\ \\ -x^2+x-1+x^2-1=0

e sommiamo i termini simili all'interno delle parentesi tonde

3(x^3+1)-3(x^3-1)-x^2+x-1+x^2-1=0

Svolgiamo i calcoli rimanenti

3x^3+3-3x^3+3-x^2+x-1+x^2-1=0

Cancelliamo i termini opposti e sommiamo tra loro i monomi simili, ricavando così l'equazione di primo grado

x+4=0

che si risolve trasportando al secondo membro il termine noto cambiandogli il segno

x=-4

Il valore ottenuto non viola le condizioni di esistenza, pertanto è soluzione dell'equazione data, che è quindi determinata e con insieme soluzione S=\{-4\}.

Abbiamo fatto!
Ringraziano: Pi Greco, fabio61, RichardMaths
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