Equazione in due incognite con seno e radice

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Equazione in due incognite con seno e radice #34622

avt
angiolet89
Cerchio
Il mio professore ha dato un esercizio molto particolare sulle equazioni in due incognite: già la struttura stessa fa spavento per via della presenza del seno e di una radice quadrata. Ho provato a risolvere l'equazione senza però giungere a nulla di fatto, per questo motivo chiedo il vostro intervento.

Risolvere la seguente equazione in due incognite rappresentando il suo insieme soluzione nel piano cartesiano

\sin(\pi (x+y))\sqrt{1-x^2-y^2}=0
Ringraziano: Omega, Ifrit
 
 

Equazione in due incognite con seno e radice #34658

avt
Omega
Amministratore
Per fornire una rappresentazione dettagliata dell'insieme soluzione associato all'equazione in due incognite

\sin(\pi (x+y))\sqrt{1-x^2-y^2}=0

sarà necessario estrapolare il maggior numero di informazioni possibili. Innanzitutto analizziamo la struttura dell'equazione stessa: al primo membro compaiono un seno e una radice quadrata. Proprio a causa di quest'ultima saremo costretti a imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero

C.E.:\ 1-x^2-y^2\ge 0

Studiamo in dettaglio la disequazione in due incognite

1-x^2-y^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2\le 1

Essa è soddisfatta da tutti i punti del piano limitati dalla circonferenza di equazione

x^2+y^2=1

avente centro nell'origine degli assi - C(0,0) e raggio R=1. Tutti i punti che non rientrano in questa regione di piano non possono essere soluzioni dell'equazione, giacché perderebbe di significato.

Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, dedichiamoci ai passaggi algebrici: in particolare sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che lo compongono vale zero e ci autorizza a considerare le seguenti relazioni

\sin(\pi (x+y))=0\ \ \ \vee \ \ \ \sqrt{1-x^2-y^2}=0

In termini più espliciti, l'insieme soluzione dell'equazione iniziale coincide con l'unione degli insiemi soluzioni delle equazioni.

Analizziamo la prima, cioè l'equazione goniometrica in due incognite

\sin(\pi(x+y))=0

Ricordiamo che il seno di un angolo vale zero nel momento in cui l'angolo è un multiplo intero di \pi, pertanto

\sin(\pi(x+y))=0 \ \ \ \to \ \ \ \pi(x+y)=k\pi

dove k è un numero intero.

Una volta divisi i due membri per \pi ricaviamo

x+y=k\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

che nel piano cartesiano individua un fascio improprio di rette parallele con coefficiente angolare m=-1 e ordinata all'origine q=k.

Analizzata la prima, occupiamoci della seconda

\sqrt{1-x^2-y^2}=0

Essa è un'equazione irrazionale che risolviamo rammentando che la radice quadrata è uguale a zero se e solo se è nullo il radicando, vale a dire

1-x^2-y^2=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2+y^2=1

Nel piano l'equazione individua tutti i punti della circonferenza di centro C(0,0) e raggio R=1, in altri termini x^2+y^2=1 è l'equazione della circonferenza goniometrica.

Per rappresentare in maniera adeguata l'insieme delle soluzioni, dobbiamo rappresentare esclusivamente le rette del fascio

x+y=k

che invadono la circonferenza goniometrica. In termini matematici, ciò equivale a determinare gli interi k per cui il sistema

\begin{cases}x+y=k \\ \\ x^2+y^2=1\end{cases}

ammette almeno una soluzione. Nella prima equazione, esprimiamo y in termini di x

\begin{cases}y=-x+k \\ \\ x^2+y^2=1\end{cases}

dopodiché rimpiazziamo nella seconda equazione

\begin{cases}y=-x+k\\ \\ x^2+(-x+k)^2=1\end{cases}

La relazione

x^2+(-x+k)^2=1

è in buona sostanza quella che prende il nome di equazione risolvente del sistema. Per analizzarla come si deve, sviluppiamo il quadrato di binomio

x^2+x^2-2k x+k^2-1=0

e sommiamo tra loro i monomi simili, ottenendo così l'equazione parametrica di secondo grado

2x^2-2kx+k^2-1=0

con coefficienti

a=2 \ \ \ ,\ \ \ b=-2k \ \ \ , \ \ \ c=k^2-1

Affinché il sistema ammetta soluzioni, dobbiamo pretendere che l'equazione di secondo grado ammetta soluzioni (reali) e ciò avviene se e solo se il discriminante associato sia non negativo:

\Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ b^2-4ac\ge 0

da cui

(-2k)^2-4\cdot 2\cdot (k^2-1)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 8-4k^2\ge 0

Il delta dell'equazione parametrica è non negativo se e solo se k soddisfa la disequazione di secondo grado

8-4k^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 4k^2\le 8\ \ \ \to \ \ \ k^2\le 2

da cui

-\sqrt{2}\le k\le\sqrt{2}

Ricordiamo che k dev'essere un intero e gli unici interi compresi tra -\sqrt{2}\ \mbox{e} \ \sqrt{2} sono:

k=-1 \ \ \ , \ \ \ k=0 \ \ \ , \ \ \ k=1

pertanto le uniche rette del fascio che invadono la circonferenza goniometrica sono:

x+y=-1 \ \ \ ,\ \ \ x+y=0 \ \ \ , \ \ \ x+y=1

Possiamo concludere quindi che il luogo geometrico definito dall'equazione in due incognite

\sin(\pi (x+y))\sqrt{1-x^2-y^2}=0

sono tutti e i soli punti (x,y) che appartengono alla circonferenza di equazione x^2+y^2=1 oppure sono punti di una delle rette

x+y=-1 \ \ \ ,\ \ \ x+y=0 \ \ \ , \ \ \ x+y=1

interni al cerchio goniometrico. Graficamente:

Esercizi equazioni in due incognite XX

Abbiamo finito.
Ringraziano: angiolet89, AntonioD
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