Equazione in due incognite con seno e radice

Il mio professore ha dato un esercizio molto particolare sulle equazioni in due incognite: già la struttura stessa fa spavento per via della presenza del seno e di una radice quadrata. Ho provato a risolvere l'equazione senza però giungere a nulla di fatto, per questo motivo chiedo il vostro intervento.

Risolvere la seguente equazione in due incognite rappresentando il suo insieme soluzione nel piano cartesiano

Per fornire una rappresentazione dettagliata dell'insieme soluzione associato all'equazione in due incognite



sarà necessario estrapolare il maggior numero di informazioni possibili. Innanzitutto analizziamo la struttura dell'equazione stessa: al primo membro compaiono un seno e una radice quadrata. Proprio a causa di quest'ultima saremo costretti a imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero



Studiamo in dettaglio la disequazione in due incognite



Essa è soddisfatta da tutti i punti del piano limitati dalla circonferenza di equazione



avente centro nell'origine degli assi - e raggio . Tutti i punti che non rientrano in questa regione di piano non possono essere soluzioni dell'equazione, giacché perderebbe di significato.

Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, dedichiamoci ai passaggi algebrici: in particolare sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che lo compongono vale zero e ci autorizza a considerare le seguenti relazioni



In termini più espliciti, l'insieme soluzione dell'equazione iniziale coincide con l'unione degli insiemi soluzioni delle equazioni.

Analizziamo la prima, cioè l'equazione goniometrica in due incognite



Ricordiamo che il seno di un angolo vale zero nel momento in cui l'angolo è un multiplo intero di , pertanto



dove è un numero intero.

Una volta divisi i due membri per ricaviamo



che nel piano cartesiano individua un fascio improprio di rette parallele con coefficiente angolare e ordinata all'origine .

Analizzata la prima, occupiamoci della seconda



Essa è un'equazione irrazionale che risolviamo rammentando che la radice quadrata è uguale a zero se e solo se è nullo il radicando, vale a dire



Nel piano l'equazione individua tutti i punti della circonferenza di centro e raggio , in altri termini è l'equazione della circonferenza goniometrica.

Per rappresentare in maniera adeguata l'insieme delle soluzioni, dobbiamo rappresentare esclusivamente le rette del fascio



che invadono la circonferenza goniometrica. In termini matematici, ciò equivale a determinare gli interi per cui il sistema



ammette almeno una soluzione. Nella prima equazione, esprimiamo in termini di



dopodiché rimpiazziamo nella seconda equazione



La relazione



è in buona sostanza quella che prende il nome di equazione risolvente del sistema. Per analizzarla come si deve, sviluppiamo il quadrato di binomio



e sommiamo tra loro i monomi simili, ottenendo così l'equazione parametrica di secondo grado



con coefficienti



Affinché il sistema ammetta soluzioni, dobbiamo pretendere che l'equazione di secondo grado ammetta soluzioni (reali) e ciò avviene se e solo se il discriminante associato sia non negativo:



da cui



Il delta dell'equazione parametrica è non negativo se e solo se soddisfa la disequazione di secondo grado



da cui



Ricordiamo che dev'essere un intero e gli unici interi compresi tra sono:



pertanto le uniche rette del fascio che invadono la circonferenza goniometrica sono:



Possiamo concludere quindi che il luogo geometrico definito dall'equazione in due incognite



sono tutti e i soli punti che appartengono alla circonferenza di equazione oppure sono punti di una delle rette



interni al cerchio goniometrico. Graficamente:


Abbiamo finito.