Scomposizione di una somma di monomi di quarto grado

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Scomposizione di una somma di monomi di quarto grado #34594

avt
danieleee
Cerchio
Ho bisogno di una mano per scomporre un binomio che pensavo essere irriducibile, e invece stando a quello che dice il libro, non lo è. Sinceramente non so nemmeno quale tecnica bisogna utilizzare, avendo a che fare con la somma di potenze quarte.

Utilizzare la tecnica di fattorizzazione opportuna per scomporre il seguente polinomio

81x^4+64y^4

Grazie
 
 

Scomposizione di una somma di monomi di quarto grado #34617

avt
Omega
Amministratore
La tecnica di scomposizione con cui fattorizzare il polinomio

81x^4+64y^4=

consiste nell'usare l'identità di Sophie Germain, o per essere più precisi, nell'usare le strategie con cui essa si dimostra.

Il primo passaggio prevede di avvalerci delle proprietà delle potenze per riscrivere il polinomio nella somma di due quadrati: ciò è possibile perché 81x^4 è il quadrato di 9x^2, mentre 64y^4 è il quadrato di 8y^2, per cui l'espressione precedente diventa

=(9x^2)^2+(8y^2)^2=(\bullet)

A questo punto aggiungiamo e sottraiamo il doppio prodotto delle basi 9x^2\ \mbox{e} \ 8y^2, ossia

2\cdot (9x^2)\cdot(8y^2)=144x^2y^2

così da completare il quadrato del binomio 9x^2+8y^2

(\bullet)=(9x^2)^2+(8y^2)^2+144x^2y^2-144x^2y^2=

Poiché i primi tre addendi costituiscono il quadrato di 9x^2+8y^2, possiamo rimpiazzarli con (9x^2+8y^2)^2 e scrivere:

=(9x^2+8y^2)^2-144x^2y^2=

Notato che 144x^2y^2 è effettivamente il quadrato di 12xy, l'espressione precedente è a conti fatti la differenza dei quadrati di 9x^2+8y^2\ \mbox{e} \ 12xy, per cui si fattorizza nel prodotto della loro somma per la loro differenza, ossia:

=(9x^2+8y^2-12xy)(9x^2+8y^2+12xy)

Essa rappresenta la scomposizione del polinomio iniziale.
  • Pagina:
  • 1
Os