Disequazioni di secondo grado superiore al secondo scomponendo in fattori

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Disequazioni di secondo grado superiore al secondo scomponendo in fattori #34460

avt
roberto.k
Punto
Mi potreste gentilmente spiegare passo passo come risolvere queste disequazioni di grado superiore al secondo?

\\ x^6-8 \leq 0\\ \\ 27x^6-1 \geq 0
 
 

Disequazioni di secondo grado superiore al secondo scomponendo in fattori #34461

avt
Danni
Sfera
Ciao Roberto,

Non ho ben capito se si tratta di un unico esercizio (sistema di disequazioni) o di due disequazioni di grado superiore al secondo separate.

Se le disequazioni sono separate, vediamo la prima:

x^6 - 8 \leq 0

che possiamo anche scrivere così:

(x^2)^3 - 2^3 \leq 0

Al primo membro c'è una differenza di cubi che equivale al prodotto della differenza delle basi per il falso quadrato.

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Nelle disequazioni il falso quadrato non si considera perché è un trinomio di II grado che non ha radici reali ed è sempre maggiore di zero (il Delta dell'equazione associata è negativo)

Discutiamo solo la differenza delle basi:

x^2 - 2 \leq 0

Scomponiamo la differenza di quadrati presente al primo membro:

(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})\leq 0

Il segno del primo coefficiente (positivo) è discorde con il verso (negativo) e la disequazione è quindi verificata per valori reali di x interni all'intervallo dei capisaldi che sono

\pm \sqrt{2}

La disequazione è verificata per

- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}

Anche la seconda ci porta ad una differenza di cubi:

27x^6 - 1 \geq 0

che scriviamo come

(3x^2)^3 - 1 \geq 0

e consideriamo solo la differenza delle basi:

3x^2 - 1 \geq 0

Scomponiamo la differenza di quadrati al primo membro:

(\sqrt{3}x + 1)(\sqrt{3}x -1) \geq 0

Questa volta il segno del primo coefficiente (positivo) ed il verso (positivo) sono concordi. La disequazione è verificata per valori reali di x esterni all'intervallo dei capisaldi:

x \leq - \frac{1}{\sqrt{3}}\;\vee  \; x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}

che scriviamo razionalizzando (te le ricordi, vero, le razionalizzazioni?)

x \leq - \frac{\sqrt{3}}{3}}\;\vee  \; x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}}

Se l'esercizio che hai inviato non è un sistema, ci fermiamo.

In caso contrario avvertimi, sono qui.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os