Disequazione fratta con metodo della parabola

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Disequazione fratta con metodo della parabola #34458

avt
roberto.k
Punto
Ciao, per cortesia mi spieghereste come applicare il metodo della parabole in questa disequazione fratta?

\frac{x(- x + 8)- (2x + 9)}{x^2 - 4} < 0

Il mio più grosso problema è come ricavare la soluzione dal grafico dei segni della parabola.

Grazie mille!
 
 

Disequazione fratta con metodo della parabola #34473

avt
Danni
Sfera
Vediamo subito!

\frac{x(- x + 8)- (2x + 9)}{x^2 - 4} < 0

Seguiamo il metodo per risolvere le disequazioni fratte: eseguiamo le operazioni al numeratore e scomponiamo il denominatore come differenza di quadrati:

\frac{- x^2 + 8x - 2x - 9}{(x + 2)(x - 2)}<0

Imponiamo non nullo il denominatore:

(x + 2)(x - 2) \neq 0 \Leftrightarrow  x \neq \pm2

\frac{- x^2 + 6x - 9}{(x + 2)(x - 2)} < 0

Cambiamo il segno al numeratore e il verso alla disequazione:

\frac{x^2 - x + 9}{x+ 2)(x - 2)} > 0

Il numeratore è lo sviluppo del quadrato di un binomio:

\frac{(x - 3)^2}{(x + 2)(x - 2)} > 0

Numeratore:

(x - 3)^2 > 0

verificata per ogni x reale diverso da 3.
(se x = 3 avremmo la disequazione 0 > 0 che è falsa. Per ogni altra x reale, un quadrato è sempre positivo).

Denominatore:

(x + 2)(x - 2) > 0

verificata per valori reali di x esterni all'intervallo dei capisaldi:

x < - 2\;\vee \;x > 2

Impostiamo il prodotto grafico:

+++ (-2) --- (2) +++ (3) +++

La disequazione ha assunto verso positivo ed è verificata negli intervalli in cui il prodotto dei segni è positivo:

x < - 2 \vee x > 2 \wedge x \neq 3

Graficamente è molto facile interpretare il risultato: devi vedere dove la y è positiva, ovvero determinare i valori di x per i quali il grafico sta SOPRA l'asse x.

Disegna le due parabole. Segui la parabola rossa. La blu influisce solo per escludere il punto di ascissa 3. Vedi le parti in cui la y è positiva? Per ogni x minore di - 2 e per ogni x maggiore di 2 il grafico sta tutto sopra l'asse x. Però dobbiamo stare attenti e ricordare di escludere il punto di ascissa 3.

rk.jpg


Ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os