Equazione fratta di grado 1 con scomposizione

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Equazione fratta di grado 1 con scomposizione #3443

avt
Ostetrica
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione fratta di primo grado a coefficienti irrazionali. Purtroppo i radicali non sono un argomento facile per me e penso che sia questo il motivo per il quale non so affrontare questa tipologia di equazioni.

Esplicitare l'insieme soluzione associato all'equazione fratta di primo grado

\frac{3}{x-\sqrt{3}}-\frac{3x}{x^2-3}=\frac{\sqrt{3}}{x^3-3x}
 
 

Equazione fratta di grado 1 con scomposizione #3450

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere l'equazione fratta di primo grado

\frac{3}{x-\sqrt{3}}-\frac{3x}{x^2-3}=\frac{\sqrt{3}}{x^3-3x}

è sufficiente attenersi alla strategia standard sebbene siano presenti diversi radicali.

Per prima cosa scomponiamo i denominatori in fattori irriducibili partendo da x^2-3. Esso è una differenza di quadrati pertanto possiamo riscriverlo come il prodotto tra la somma e la differenza di x\ \mbox{e} \ \sqrt{3}

x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

Richiede qualche passaggio in più la scomposizione di x^3-3x. Possiamo infatti raccogliere il fattore comune x e scomporre in seguito la differenza di quadrati

x^3-3x=x(x^2-3)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

Riscriviamo l'equazione con i denominatori scomposti

\frac{3}{x-\sqrt{3}}-\frac{3x}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}

e imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli.

Per quanto concerne la non nullità del primo denominatore, dobbiamo richiedere che:

x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne \sqrt{3}

Occupiamoci del secondo denominatore che richiede l'intervento della legge di annullamento del prodotto.

(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\ne 0

Il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono non nulli i due fattori

\\ x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne\sqrt{3} \\ \\ x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{3}

Sempre grazie alla legge di annullamento del prodotto possiamo analizzare la non nullità del terzo denominatore

x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\ne 0

se e solo se

\\ x\ne 0 \\ \\ x-\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne\sqrt{3} \\ \\ x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{3}

Con le informazioni ottenute siamo in grado di esplicitare l'insieme di esistenza

C.E.:\ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne \sqrt{3} \ \wedge \ x\ne -\sqrt{3}

Sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza procediamo con la risoluzione dell'equazione fratta. Per prima cosa trasportiamo tutti i termini al primo membro

\frac{3}{x-\sqrt{3}}-\frac{3x}{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}-\frac{\sqrt{3}}{x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{3x(x+\sqrt{3})-3x\cdot x-\sqrt{3}}{x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}=0

Il secondo principio di equivalenza consente di cancellare il denominatore e di ricavare l'equazione equivalente

3x(x+\sqrt{3})-3x^2-\sqrt{3}=0

Sviluppiamo il prodotto

3x^2+3\sqrt{3}x-3x^2-\sqrt{3}=0

e sommiamo tra loro i termini simili

3\sqrt{3}x-\sqrt{3}=0

Abbiamo ottenuto un'equazione di primo grado che possiamo risolvere isolando i termini con l'incognita al primo membro e trasportando quelli senza al secondo cambiandone il segno

3\sqrt{3}x=\sqrt{3}

Dividiamo a destra e a sinistra per 3\sqrt{3}

x=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}

e riduciamo la frazione ai minimi termini, semplificando \sqrt{3}

x=\frac{1}{3}

Il valore ottenuto è effettivamente la soluzione dell'equazione fratta perché rispetta le condizioni di esistenza. Concludiamo quindi che l'equazione è determinata e l'insieme soluzione è S=\left\{\frac{1}{3}\right\}.
Ringraziano: Omega
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Os