Potenza di un binomio ed esponente letterale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Potenza di un binomio ed esponente letterale #34352

avt
Stella
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per determinare lo sviluppo della potenza di un binomio a esponenti letterali, usando il triangolo di Tartaglia. Il mio problema più grande risiede proprio nel fatto che non riesco a gestire gli esponenti letterali.

Avvalendosi del triangolo di Tartaglia, sviluppare la seguente potenza di binomio:

(a^{n}-3)^{4}
 
 

Potenza di un binomio ed esponente letterale #34356

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di sviluppare la potenza di binomio

(a^n-3)^4

avvalendoci del triangolo di Tartaglia.

La strategia che consente di limitare eventuali errori di calcolo e di segni prevede di calcolare la potenza quarta del binomio A+B. Per lo scopo, abbiamo la necessità di costruire le prime cinque righe del triangolo di Tartaglia:

\begin{array}{l|rrrrrrrrrr}n=0&&&&&1&&&&\\n=1 &&&&1&&1&&&\\n=2&&&1&&2&&1&&\\ n=3&&1&&3&&3&&1& \\n=4&1&&4&&6&&4&&1&\end{array}

Nell'ultima riga sono elencati i coefficienti dello sviluppo di (A+B)^{4}, pertanto siamo autorizzati a scrivere la seguente relazione:

\\ (A+B)^{4}=\\ \\ = 1\cdot A^{4}B^{0}+4\cdot A^{3}B^{1}+6\cdot A^{2}B^{2}+4\cdot A^{1}B^{3}+1\cdot A^{0}B^{4}= \\ \\ =A^4+4A^3B+6A^{2}B^{2}+4AB^3+B^{4}

Nota: gli esponenti delle lettere A \ \mbox{e} \ B devono sottostare alle seguenti condizioni:

- gli esponenti della lettera A vanno da quattro a zero, decrescendo di uno a ogni termine;

- gli esponenti della lettera B vanno da zero a quattro, crescendo di uno a ogni termine;

- tutti i monomi dello sviluppo devono essere di quarto grado, per cui la somma tra l'esponente di A e quello di B deve essere quattro.

Adesso siamo pronti a ricavare lo sviluppo della potenza quarta di a^n-3: è sufficiente rimpiazzare A\ \mbox{con} \ a^{n} e B\ \mbox{con} \ -3 nella relazione:

(A+B)^{4}=A^4+4A^3B+6A^{2}B^{2}+4AB^3+B^{4}

così da ricondurci alla seguente:

\\ (a^{n}-3)^{4}=\\ \\ =(a^{n})^{4}+4(a^{n})^3(-3)+6(a^{n})^2(-3)^{2}+4(a^{n})(-3)^{3}+(-3)^3=

Da ora in poi è una mera questione di calcoli! Basta infatti calcolare le potenze di potenze e attenersi alla regola dei segni

\\ =a^{4\cdot n}-12a^{3\cdot n}+54a^{2\cdot n}-108a^n+81=\\ \\ =a^{4n}-12a^{3n}+54a^{2n}-108a^n+81

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os