Equazioni riducibili a equazioni di primo grado

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Equazioni riducibili a equazioni di primo grado #34286

avt
cucciola
Punto
Non ho capito come si risolvono le equazioni riducibili a equazioni di primo grado, ecco perché chiedo il vostro intervento. Mi potete aiutare?

\\ (1)\ \ \ x^3 (x+1)(x-2)=0\\ \\ (2)\ \ \ (x^2+1)(x-2)(3x-1)=0\\ \\ (3)\ \ \ x^3 -4x=0

Grazie!
 
 

Equazioni riducibili a equazioni di primo grado #34297

avt
kameor
Sfera
Esercizio 1.

Per risolvere l'equazione di grado superiore al secondo

x^3(x+1)(x-2)=0

è sufficiente osservare che il primo membro è espresso mediante il prodotto di fattori irriducibili e sfruttando la legge di annullamento del prodotto, tale prodotto è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo.

Questa semplice regola ci permette di considerare quindi tre equazioni:

x^3=0 \ \ \ , \ \ \ x+1=0 \ \ \ , \ \ \ x-2=0

La prima è a conti fatti un'equazione monomia di grado tre, soddisfatta per x=0

x^3=0\ \ \ \to \ \ \ x=0

La seconda è un'equazione di primo grado che si risolve isolando l'incognita al primo membro

x+1=0\ \ \ \to \ \ \ x=-1

Lo stesso dicasi per la terza equazione

x-2=0 \ \ \ \to \ \ \ x=2

Possiamo quindi affermare che l'insieme delle soluzioni dell'equazione è

S=\{-1,\ 0,\ 2\}


Esercizio 2.

Consideriamo l'equazione

(x^2+1)(x-2)(3x-1)=0

Se svolgessimo il prodotto al primo membro e sommassimo tra loro i termini simili ci ricondurremmo a un'equazione di quarto grado.

Poiché al primo membro si manifesta un prodotto di fattori irriducibili, possiamo pensar bene di sfruttare la legge di annullamento del prodotto e di risolvere le equazioni:

\\ x^2+1=0 \ \ \ \to \ \ \ \nexists x\in\mathbb{R}\\ \\ x-2=0 \ \ \ \to \ \ \ x=2 \\ \\ 3x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{3}

Si noti che la somma tra x^2\ \mbox{e} \ 1 è certamente diversa da zero, per questo l'equazione x^2+1=0 è impossibile.

In definitiva l'insieme delle soluzioni associato all'equazione è:

S=\left\{\frac{1}{3},\ 2\right\}


Esercizio 3.

Risolviamo l'equazione di grado 3

x^3 - 4x=0

scomponendo in fattori primi il polinomio al primo membro. Effettuiamo un raccoglimento totale, mettendo in evidenza il fattore comune x

x(x^2-4)=0

dopodiché interviene la regola di scomposizione della differenza di quadrati

x(x-2)(x+2)=0

Grazie alla legge di annullamento del prodotto, da qui ricaviamo velocemente le soluzioni:

\\ x=0 \\ \\ x-2=0\ \ \ \to \ \ \ x=2\\ \\ x+2=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-2

Osserviamo che per scomporre il binomio x^2-4 abbiamo sfruttato un prodotto notevole, tuttavia potevamo anche trovare direttamente le soluzioni risolvendo l'equazione di secondo grado

x^2-4=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm 2

Per concludere, l'insieme soluzione dell'equazione è S=\left\{-2,\ 0,\ 2\right\}.

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, cucciola
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Os