Sistema di equazioni goniometriche #34241

avt
AntonioD
Frattale
Mi è capitato un sistema di equazioni goniometriche in due incognite in cui bisogna usare le formule di trigonometria per ricondurlo a qualcosa di notevole. Purtroppo non riesco proprio a capire qual è la strategia migliore per risolverlo.

Utilizzare le opportune formule goniometriche per risolvere il seguente sistema non lineare

\begin{cases} 2\sin(2x)-2\sin(2y)=1 \\ \\ 2\cos(x+y)=1\end{cases}

Grazie.
 
 

Sistema di equazioni goniometriche #34248

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il sistema di equazioni in seni e coseni

\begin{cases} 2\sin(2x)-2\sin(2y)=1 \\ \\ 2\cos(x+y)=1\end{cases}

occorre avvalersi delle opportune formule di goniometria, in particolare usando la formula di prostaferesi per la differenza di seni

\sin(p)-\sin(q)=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)

l'equazione in seno

2\sin(2x)-2\sin(2y)=1

diventa

2\cdot 2\sin\left(\frac{2x-2y}{2}\right)\cos\left(\frac{2x+2y}{2}\right)=1

da cui, semplificando 2, ricaviamo:

4\sin(x-y)\cos(x+y)=1

Dalla seconda relazione isoliamo \cos(x+y) al primo membro, cosicché il sistema diventi

\begin{cases} 4\cos(x+y)\sin(x-y)=1 \\ \\ \cos(x+y)=\dfrac{1}{2}\end{cases}

Una volta rimpiazzato \cos(x+y) con \frac{1}{2} nella prima equazione, otteniamo:

\begin{cases}2\sin(x-y)=1 \\ \\ \cos(x+y)=\dfrac{1}{2}\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}\sin(x-y)=\dfrac{1}{2}\\ \\ \cos(x+y)=\dfrac{1}{2}\end{cases}

Analizziamo le due equazioni goniometriche elementari, partendo dalla prima

\sin(x-y)=\frac{1}{2}

che possiamo risolvere ricordando che il seno di un angolo è \frac{1}{2} se e solo se l'angolo è -\frac{\pi}{6} oppure \frac{5\pi}{6} a meno di multipli di 2\pi, otteniamo

x-y=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x-y=\frac{5}{6}\pi+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.

Occupiamoci della seconda:

\cos(x+y)=\frac{1}{2}

Essa è un'equazione elementare in coseno che si risolve ricordando che il coseno di un angolo è uguale a \frac{1}{2} se e solo se l'angolo è uguale a -\frac{\pi}{3} oppure a \frac{\pi}{3} a meno di multipli di 2\pi, dunque:

x+y=-\frac{\pi}{3}+2h\pi \ \ \ \vee \ \ \ x+y=\frac{\pi}{3}+2h\pi

dove h varia nell'insieme dei numeri interi.

Con le informazioni in nostro possesso, il sistema

\begin{cases}\sin(x-y)=\dfrac{1}{2}\\ \\ \cos(x+y)=\dfrac{1}{2}\end{cases}

si riscrive nella forma equivalente come segue:

\begin{cases}x-y=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x-y=\dfrac{5}{6}\pi+2k\pi\\ \\ x+y=-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi \ \ \ \vee \ \ \ x+y=\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}

Esso si spezza in quattro sistemi che si ottengono considerando ciascuna delle equazioni della prima riga per tutte le equazioni della seconda, vale a dire:

\\ \overbrace{\begin{cases}x-y=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ x+y=-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}}^{1^{\circ}\ \mbox{sistema}} \ \ \bigcup \ \ \ \overbrace{\begin{cases}x-y=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ \\ x+y=\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}}^{2^{\circ}\ \mbox{sistema}} \ \ \ \bigcup \ \ \  \\ \\ \\ \bigcup \ \ \ \overbrace{\begin{cases}x-y=\dfrac{5}{6}\pi+2k\pi \\ \\ x+y=-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}}^{3^{\circ} \ \mbox{sistema}}\ \ \ \bigcup \ \ \ \overbrace{\begin{cases}x-y=\dfrac{5}{6}\pi+2k\pi \\ \\ x+y=\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}}^{4^{\circ} \ \mbox{sistema}}

Ci siamo ricondotti a 4 sistemi lineari nelle incognite x\ \mbox{e}\  y, le cui soluzioni si ricavano semplicemente con il metodo di sostituzione.

Risolviamo il primo

\begin{cases}x-y=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ x+y=-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}

Dalla prima relazione, esprimiamo l'incognita x in termini di y

\begin{cases}x=y+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ x+y=-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione

\begin{cases}x=y+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ y+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi+y=-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}

Non ci resta che esprimere in forma normale e in seguito risolvere l'equazione di primo grado in y

\begin{cases}x=y+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ 2y=-\dfrac{\pi}{6}-2k\pi-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=y+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ \\ y=-\dfrac{\pi}{4}+h\pi - k\pi\end{cases}

Operando la sostituzione all'indietro, siamo infine in grado di determinare i valori dell'incognita x

\begin{cases}x=-\dfrac{\pi}{4}+h\pi-k\pi+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ \\ y=-\dfrac{\pi}{4}+h\pi -k\pi\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=-\dfrac{\pi}{12}+h\pi+k\pi \\ \\ y=-\dfrac{\pi}{4}+h\pi-k\pi\end{cases}

e di ricavare la prima famiglia di coppie soluzione associato al sistema originale

(x,y)=\left(-\frac{\pi}{12}+h\pi+k\pi, \ -\frac{\pi}{4}+h\pi-k\pi\right) \ \ \ \mbox{per ogni} \ h, \ k\in\mathbb{Z}

Procedendo allo stesso modo, le coppie che scaturiscono dal sistema

\begin{cases}x-y=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ \\ x+y=\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}

sono:

(x,y)=\left(\frac{\pi}{4}+h\pi+k\pi, \ \frac{\pi}{12}+h\pi-k\pi\right) \ \ \ \mbox{per ogni} \ h, \ k\in\mathbb{Z}

quelle del terzo sistema, ossia:

\begin{cases}x-y=\dfrac{5}{6}\pi+2k\pi \\ \\ x+y=-\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}

sono, invece

(x,y)=\left(\frac{\pi}{4}+h\pi +k\pi, \ -\frac{7}{12}\pi+h\pi-k\pi\right)\ \ \ \mbox{per ogni} \ h, \ k\in\mathbb{Z}

Le coppie che soddisfano il sistema

\begin{cases}x-y=\dfrac{5}{6}\pi+2k\pi \\ \\ x+y=\dfrac{\pi}{3}+2h\pi\end{cases}

sono infine

(x,y)=\left(\frac{7}{12}\pi+h\pi+k\pi, \ -\frac{\pi}{4}+h\pi-k\pi\right) \ \ \ \mbox{per ogni}\ h, \ k\in\mathbb{Z}

Tutte le coppie trovate sono a tutti gli effetti le soluzioni del sistema iniziale.
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