Sistema di equazioni goniometriche #34241

avt
AntonioD
Frattale
Mi è capitato un sistema di equazioni goniometriche in due incognite in cui bisogna usare le formule di trigonometria per ricondurlo a qualcosa di notevole. Purtroppo non riesco proprio a capire qual è la strategia migliore per risolverlo.

Utilizzare le opportune formule goniometriche per risolvere il seguente sistema non lineare

2sin(2x)-2sin(2y) = 1 ; 2cos(x+y) = 1

Grazie.
 
 

Sistema di equazioni goniometriche #34248

avt
Ifrit
Amministratore
Per risolvere il sistema di equazioni in seni e coseni

2sin(2x)-2sin(2y) = 1 ; 2cos(x+y) = 1

occorre avvalersi delle opportune formule di goniometria, in particolare usando la formula di prostaferesi per la differenza di seni

sin(p)-sin(q) = 2sin((p+q)/(2))cos((p-q)/(2))

l'equazione in seno

2sin(2x)-2sin(2y) = 1

diventa

2·2sin((2x-2y)/(2))cos((2x+2y)/(2)) = 1

da cui, semplificando 2, ricaviamo:

4sin(x-y)cos(x+y) = 1

Dalla seconda relazione isoliamo cos(x+y) al primo membro, cosicché il sistema diventi

4cos(x+y)sin(x-y) = 1 ; cos(x+y) = (1)/(2)

Una volta rimpiazzato cos(x+y) con (1)/(2) nella prima equazione, otteniamo:

2sin(x-y) = 1 ; cos(x+y) = (1)/(2) → sin(x-y) = (1)/(2) ; cos(x+y) = (1)/(2)

Analizziamo le due equazioni goniometriche elementari, partendo dalla prima

sin(x-y) = (1)/(2)

che possiamo risolvere ricordando che il seno di un angolo è (1)/(2) se e solo se l'angolo è -(π)/(6) oppure (5π)/(6) a meno di multipli di 2π, otteniamo

x-y = (π)/(6)+2kπ ∨ x-y = (5)/(6)π+2kπ

dove k è un qualsiasi numero intero.

Occupiamoci della seconda:

cos(x+y) = (1)/(2)

Essa è un'equazione elementare in coseno che si risolve ricordando che il coseno di un angolo è uguale a (1)/(2) se e solo se l'angolo è uguale a -(π)/(3) oppure a (π)/(3) a meno di multipli di 2π, dunque:

x+y = -(π)/(3)+2hπ ∨ x+y = (π)/(3)+2hπ

dove h varia nell'insieme dei numeri interi.

Con le informazioni in nostro possesso, il sistema

sin(x-y) = (1)/(2) ; cos(x+y) = (1)/(2)

si riscrive nella forma equivalente come segue:

x-y = (π)/(6)+2kπ ∨ x-y = (5)/(6)π+2kπ ; x+y = -(π)/(3)+2hπ ∨ x+y = (π)/(3)+2hπ

Esso si spezza in quattro sistemi che si ottengono considerando ciascuna delle equazioni della prima riga per tutte le equazioni della seconda, vale a dire:

x-y = (π)/(6)+2kπ ; x+y = -(π)/(3)+2hπ (1° sistema) U x-y = (π)/(6)+2kπ ; x+y = (π)/(3)+2hπ (2° sistema) U ; U x-y = (5)/(6)π+2kπ ; x+y = -(π)/(3)+2hπ (3° sistema) U x-y = (5)/(6)π+2kπ ; x+y = (π)/(3)+2hπ (4° sistema)

Ci siamo ricondotti a 4 sistemi lineari nelle incognite x e y, le cui soluzioni si ricavano semplicemente con il metodo di sostituzione.

Risolviamo il primo

x-y = (π)/(6)+2kπ ; x+y = -(π)/(3)+2hπ

Dalla prima relazione, esprimiamo l'incognita x in termini di y

x = y+(π)/(6)+2kπ ; x+y = -(π)/(3)+2hπ

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione

x = y+(π)/(6)+2kπ ; y+(π)/(6)+2kπ+y = -(π)/(3)+2hπ

Non ci resta che esprimere in forma normale e in seguito risolvere l'equazione di primo grado in y

x = y+(π)/(6)+2kπ ; 2y = -(π)/(6)-2kπ-(π)/(3)+2hπ → x = y+(π)/(6)+2kπ ; y = -(π)/(4)+hπ-kπ

Operando la sostituzione all'indietro, siamo infine in grado di determinare i valori dell'incognita x

x = -(π)/(4)+hπ-kπ+(π)/(6)+2kπ ; y = -(π)/(4)+hπ-kπ → x = -(π)/(12)+hπ+kπ ; y = -(π)/(4)+hπ-kπ

e di ricavare la prima famiglia di coppie soluzione associato al sistema originale

(x,y) = (-(π)/(12)+hπ+kπ, -(π)/(4)+hπ-kπ) per ogni h, k∈Z

Procedendo allo stesso modo, le coppie che scaturiscono dal sistema

x-y = (π)/(6)+2kπ ; x+y = (π)/(3)+2hπ

sono:

(x,y) = ((π)/(4)+hπ+kπ, (π)/(12)+hπ-kπ) per ogni h, k∈Z

quelle del terzo sistema, ossia:

x-y = (5)/(6)π+2kπ ; x+y = -(π)/(3)+2hπ

sono, invece

(x,y) = ((π)/(4)+hπ+kπ, -(7)/(12)π+hπ-kπ) per ogni h, k∈Z

Le coppie che soddisfano il sistema

x-y = (5)/(6)π+2kπ ; x+y = (π)/(3)+2hπ

sono infine

(x,y) = ((7)/(12)π+hπ+kπ, -(π)/(4)+hπ-kπ) per ogni h, k∈Z

Tutte le coppie trovate sono a tutti gli effetti le soluzioni del sistema iniziale.
  • Pagina:
  • 1
Os