Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori?

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Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori? #33964

avt
Stella
Punto
Potete aiutarmi a capire come si esegue una divisione fra polinomi? Dovrei determinare il quoziente e il resto usando l'algoritmo della divisione in colonna.

Calcolare quoziente e resto delle seguenti divisioni fra polinomi.

\\ (8x^3 - 4x + 1) : \left(x - \frac{1}{2}\right)\\ \\ \\ (16x^5 - 8x^3 + 2x - 1) : (x^3 - 1)

Grazie davvero!
 
 

Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori? #33973

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel ricavare i quozienti e i resti delle divisione tra polinomi e per raggiungere l'obiettivo, possiamo tranquillamente usare la tabella della divisione.

Sia chiaro che bisogna conoscere le operazioni tra monomi (in particolar modo la divisione tra monomi) e le onnipresenti proprietà delle potenze.

Iniziamo dalla prima:

(8x^3-4x+1):\left(x-\frac{1}{2}\right)

Sia il dividendo che il divisore sono polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di x, ma attenzione: 8x^3-4x+1 manca del termine in x^2 che verrà rimpiazzato da uno zero segnaposto.

8x^3-4x+1=8x^3+0x^2-4x+1

Costruiamo la tabella della divisione

\begin{array}{cccc|cc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\ \cline{5-6}&&&&&\end{array}

calcoliamo la divisione tra il primo monomio del dividendo e il primo monomio del divisore

8x^3:(x)=8x^2

e riportiamo il risultato sotto il polinomio divisore:

\begin{array}{cccc|cc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\  \cline{5-6} &&&&8x^2&\end{array}

Moltiplichiamo il quoziente parziale 8x^2 per il polinomio divisore, ottenendo

8x^2\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)=8x^3-4x^2

e riportiamo il risultato cambiato di segno al di sotto del dividendo

\begin{array}{cccc|cc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\  \cline{5-6} &&&&8x^2&\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4}\end{array}

Sommiamo in colonna i monomi ricavando il primo resto parziale

\begin{array}{cccc|cc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\  \cline{5-6} &&&&8x^2&\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4} //&+4x^2&+4x&+1\\ \end{array}

Dividiamo il termine direttore del resto parziale per il termine direttore del polinomio divisore

4x^2:(x)=4x

e riportiamo il risultato al di sotto del divisore

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\  \cline{5-6} &&&&8x^2&+4x&\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4} //&+4x^2&+4x&+1\\ \end{array}

Moltiplichiamo 4x per x-\frac{1}{2} ottenendo 4x^2-2x e incolonniamo il risultato al di sotto del resto parziale cambiando di segno i suoi termini:

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\  \cline{5-6} &&&&8x^2&+4x&\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4} //&+4x^2&+4x&+1\\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&&&&&&\end{array}

A questo punto eseguiamo la somma e riportiamo il secondo resto parziale sotto la linea di separazione.

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\ \cline{5-6} &&&&8x^2&+4x&\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4} //&+4x^2&+4x&+1\\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&//&6x&+1&&&\end{array}

Ancora una volta dividiamo il termine direttivo del resto parziale per quello del polinomio quoziente:

6x:\left(x\right)=6

e riportiamo il risultato sotto il divisore.

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\ \cline{5-7} &&&&8x^2&+4x&+6\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4} //&+4x^2&+4x&+1\\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&//&6x&+1&&&\end{array}

Moltiplichiamo 6 per il polinomio divisore ottenendo 6x-3 e riportiamo il risultato sotto il resto parziale cambiandolo di segno.

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\ \cline{5-7} &&&&8x^2&+4x&+6\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4} //&+4x^2&+4x&+1\\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&//&6x&+1&&& \\&&&&&&\\ &&-6x&+3&&&\\ \cline{3-4}\end{array}

Eseguiamo l'addizione e riportiamo la somma sotto la linea di separazione

\begin{array}{cccc|ccc}8x^3&+0x^2&+4x&+1&x&-\frac{1}{2}\\ \cline{5-7} &&&&8x^2&+4x&+6\\ -8x^3&+4x^2&&&& \\ \cline{1-4} //&+4x^2&+4x&+1\\ &&&&&&\\ &-4x^2&+2x&&&& \\ \cline{2-4}&//&6x&+1&&& \\&&&&&&\\ &&-6x&+3&&&\\ \cline{3-4}&&//&4&\end{array}

Poiché il resto parziale è un polinomio di grado inferiore rispetto al polinomio divisore, l'algoritmo della divisione finisce qui. Da esso comprendiamo che il polinomio quoziente è

Q(x)=8x^2+4x+6

mentre il polinomio resto è

R(x)=4

Abbiamo finito.


Prima di calcolare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

(16x^5-8x^3+2x-1):(x^3-1)

osserviamo che il dividendo

16x^5-8x^3+2x-1

è sì un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x, però manca di alcuni termini: per completarlo inseriamo al loro posto gli zeri segnaposto

16x^5+0\cdot x^{4}-8x^{3}+0\cdot x^{2}+2x-1

Costruiamo la tipica tabella della divisione polinomiale

\begin{array}{cccccc|cc}16x^{5}&+0\cdot x^{4}&-8x^{3}&+0x^{2}&+2x&-1&x^{3}&-1\\ \cline{7-8}&&&&&&&\end{array}

e inneschiamo l'algoritmo della divisione calcolando il quoziente tra il primo monomio del dividendo e il primo monomio del divisore

16x^{5}:\left(x^3\right)=16x^{5-3}=16x^{2}

Riportiamo il risultato al di sotto del divisore: esso rappresenta il primo quoziente parziale.

\begin{array}{cccccc|cc}16x^{5}&+0\cdot x^{4}&-8x^{3}&+0x^{2}&+2x&-1&x^{3}&-1\\ \cline{7-8}&&&&&&16x^{2}&\end{array}

Eseguiamo la moltiplicazione tra quoziente parziale per il polinomio divisore

(x^3-1)\cdot 16x^2=16x^5-16x^2

e dopo aver cambiato i segni ai suoi termini, li incolonniamo al di sotto dei termini del dividendo

\begin{array}{cccccc|cc}16x^{5}&+0\cdot x^{4}&-8x^{3}&+0x^{2}&+2x&-1&x^{3}&-1\\ \cline{7-8}&&&&&&16x^{2}& \\ -16x^5&&&+16x^2&&&&\\ \cline{1-6}&&&&&&&\end{array}

Eseguiamo l'addizione termine a termine e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione: tale somma rappresenta il primo resto parziale

\begin{array}{cccccc|cc}16x^{5}&+0\cdot x^{4}&-8x^{3}&+0x^{2}&+2x&-1&x^{3}&-1\\ \cline{7-8}&&&&&&16x^{2}& \\ -16x^5&&&+16x^2&&&&\\ \cline{1-6} //&//&-8x^3&+16x^2&+2x&-1&&\end{array}

Poiché il grado del polinomio resto è uguale al grado del polinomio divisore, dobbiamo effettuare un ulteriore passo dell'algoritmo.

Dividiamo il primo termine del resto parziale per il primo termine del divisore

-8x^{3}:\left(x^3\right)=-8

e affianchiamo il risultato al quoziente parziale

\begin{array}{cccccc|cc}16x^{5}&+0\cdot x^{4}&-8x^{3}&+0x^{2}&+2x&-1&x^{3}&-1\\ \cline{7-8}&&&&&&16x^{2}&-8 \\ -16x^5&&&+16x^2&&&&\\ \cline{1-6} //&//&-8x^3&+16x^2&+2x&-1&&\end{array}

Determiniamo il prodotto tra -8 e il dividendo

-8(x^3-1)=-8x^3+8

e, dopo averne cambiato i segni, incolonniamolo con il secondo resto parziale

\begin{array}{cccccc|cc}16x^{5}&+0\cdot x^{4}&-8x^{3}&+0x^{2}&+2x&-1&x^{3}&-1\\ \cline{7-8}&&&&&&16x^{2}&-8 \\ -16x^5&&&+16x^2&&&&\\ \cline{1-6} //&//&-8x^3&+16x^2&+2x&-1&&\\ &&&&&&& \\ &&+8x^3&&&-8&&\\ \cline{3-6}&&&&&&&\end{array}

Sommiamo termine a termine e riportiamo il risultato al di sotto della linea di separazione

\begin{array}{cccccc|cc}16x^{5}&+0\cdot x^{4}&-8x^{3}&+0x^{2}&+2x&-1&x^{3}&-1\\ \cline{7-8}&&&&&&16x^{2}&-8 \\ -16x^5&&&+16x^2&&&&\\ \cline{1-6} //&//&-8x^3&+16x^2&+2x&-1&&\\ &&&&&&& \\ &&+8x^3&&&-8&&\\ \cline{3-6}&&//&+16x^2&+2x&-9&&\end{array}

Poiché il grado del polinomio resto è inferiore del grado del divisore, per cui l'algoritmo della divisione è giunto a termine.

Dalla tabella ricaviamo che il polinomio quoziente è

Q(x)=16x^{2}-8

mentre il polinomio resto è

R(x)=16x^2+2x-9

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Stella, Danni, davide9954
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Os