Divisione fra polinomi e scomposizione in fattori?

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#33964
avt
Stella
Punto

Potete aiutarmi a capire come si esegue una divisione fra polinomi? Dovrei determinare il quoziente e il resto usando l'algoritmo della divisione in colonna.

Calcolare quoziente e resto delle seguenti divisioni fra polinomi.

(8x^3−4x+1) : (x−(1)/(2)) ; (16x^5−8x^3+2x−1) : (x^3−1)

Grazie davvero!

#33973
avt
Ifrit
Amministratore

Il nostro compito consiste nel ricavare i quozienti e i resti delle divisione tra polinomi e per raggiungere l'obiettivo, possiamo tranquillamente usare la tabella della divisione.

Sia chiaro che bisogna conoscere le operazioni tra monomi (in particolar modo la divisione tra monomi) e le onnipresenti proprietà delle potenze.

Iniziamo dalla prima:

(8x^3−4x+1):(x−(1)/(2))

Sia il dividendo che il divisore sono polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di x, ma attenzione: 8x^3−4x+1 manca del termine in x^2 che verrà rimpiazzato da uno zero segnaposto.

8x^3−4x+1 = 8x^3+0x^2−4x+1

Costruiamo la tabella della divisione

beginarraycccc|cc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−6 endarray

calcoliamo la divisione tra il primo monomio del dividendo e il primo monomio del divisore

8x^3:(x) = 8x^2

e riportiamo il risultato sotto il polinomio divisore:

beginarraycccc|cc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−6 8x^2 endarray

Moltiplichiamo il quoziente parziale 8x^2 per il polinomio divisore, ottenendo

8x^2·(x−(1)/(2)) = 8x^3−4x^2

e riportiamo il risultato cambiato di segno al di sotto del dividendo

beginarraycccc|cc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−6 8x^2 ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 endarray

Sommiamo in colonna i monomi ricavando il primo resto parziale

beginarraycccc|cc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−6 8x^2 ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 // +4x^2 +4x +1 ; endarray

Dividiamo il termine direttore del resto parziale per il termine direttore del polinomio divisore

4x^2:(x) = 4x

e riportiamo il risultato al di sotto del divisore

beginarraycccc|ccc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−6 8x^2 +4x ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 // +4x^2 +4x +1 ; endarray

Moltiplichiamo 4x per x−(1)/(2) ottenendo 4x^2−2x e incolonniamo il risultato al di sotto del resto parziale cambiando di segno i suoi termini:

beginarraycccc|ccc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−6 8x^2 +4x ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 // +4x^2 +4x +1 ; ; −4x^2 +2x ; cline2−4 endarray

A questo punto eseguiamo la somma e riportiamo il secondo resto parziale sotto la linea di separazione.

beginarraycccc|ccc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−6 8x^2 +4x ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 // +4x^2 +4x +1 ; ; −4x^2 +2x ; cline2−4 // 6x +1 endarray

Ancora una volta dividiamo il termine direttivo del resto parziale per quello del polinomio quoziente:

6x:(x) = 6

e riportiamo il risultato sotto il divisore.

beginarraycccc|ccc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−7 8x^2 +4x +6 ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 // +4x^2 +4x +1 ; ; −4x^2 +2x ; cline2−4 // 6x +1 endarray

Moltiplichiamo 6 per il polinomio divisore ottenendo 6x−3 e riportiamo il risultato sotto il resto parziale cambiandolo di segno.

beginarraycccc|ccc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−7 8x^2 +4x +6 ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 // +4x^2 +4x +1 ; ; −4x^2 +2x ; cline2−4 // 6x +1 ; ; −6x +3 ; cline3−4 endarray

Eseguiamo l'addizione e riportiamo la somma sotto la linea di separazione

beginarraycccc|ccc8x^3 +0x^2 +4x +1 x −(1)/(2) ; cline5−7 8x^2 +4x +6 ;−8x^3 +4x^2 ; cline1−4 // +4x^2 +4x +1 ; ; −4x^2 +2x ; cline2−4 // 6x +1 ; ; −6x +3 ; cline3−4 // 4 endarray

Poiché il resto parziale è un polinomio di grado inferiore rispetto al polinomio divisore, l'algoritmo della divisione finisce qui. Da esso comprendiamo che il polinomio quoziente è

Q(x) = 8x^2+4x+6

mentre il polinomio resto è

R(x) = 4

Abbiamo finito.

Prima di calcolare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

(16x^5−8x^3+2x−1):(x^3−1)

osserviamo che il dividendo

16x^5−8x^3+2x−1

è sì un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x, però manca di alcuni termini: per completarlo inseriamo al loro posto gli zeri segnaposto

16x^5+0·x^(4)−8x^(3)+0·x^(2)+2x−1

Costruiamo la tipica tabella della divisione polinomiale

beginarraycccccc|cc16x^(5) +0·x^(4) −8x^(3) +0x^(2) +2x −1 x^(3) −1 ; cline7−8 endarray

e inneschiamo l'algoritmo della divisione calcolando il quoziente tra il primo monomio del dividendo e il primo monomio del divisore

16x^(5):(x^3) = 16x^(5−3) = 16x^(2)

Riportiamo il risultato al di sotto del divisore: esso rappresenta il primo quoziente parziale.

beginarraycccccc|cc16x^(5) +0·x^(4) −8x^(3) +0x^(2) +2x −1 x^(3) −1 ; cline7−8 16x^(2) endarray

Eseguiamo la moltiplicazione tra quoziente parziale per il polinomio divisore

(x^3−1)·16x^2 = 16x^5−16x^2

e dopo aver cambiato i segni ai suoi termini, li incolonniamo al di sotto dei termini del dividendo

beginarraycccccc|cc16x^(5) +0·x^(4) −8x^(3) +0x^(2) +2x −1 x^(3) −1 ; cline7−8 16x^(2) ;−16x^5 +16x^2 ; cline1−6 endarray

Eseguiamo l'addizione termine a termine e riportiamo il risultato sotto la linea di separazione: tale somma rappresenta il primo resto parziale

beginarraycccccc|cc16x^(5) +0·x^(4) −8x^(3) +0x^(2) +2x −1 x^(3) −1 ; cline7−8 16x^(2) ;−16x^5 +16x^2 ; cline1−6 // // −8x^3 +16x^2 +2x −1 endarray

Poiché il grado del polinomio resto è uguale al grado del polinomio divisore, dobbiamo effettuare un ulteriore passo dell'algoritmo.

Dividiamo il primo termine del resto parziale per il primo termine del divisore

−8x^(3):(x^3) = −8

e affianchiamo il risultato al quoziente parziale

beginarraycccccc|cc16x^(5) +0·x^(4) −8x^(3) +0x^(2) +2x −1 x^(3) −1 ; cline7−8 16x^(2) −8 ;−16x^5 +16x^2 ; cline1−6 // // −8x^3 +16x^2 +2x −1 endarray

Determiniamo il prodotto tra −8 e il dividendo

−8(x^3−1) = −8x^3+8

e, dopo averne cambiato i segni, incolonniamolo con il secondo resto parziale

beginarraycccccc|cc16x^(5) +0·x^(4) −8x^(3) +0x^(2) +2x −1 x^(3) −1 ; cline7−8 16x^(2) −8 ;−16x^5 +16x^2 ; cline1−6 // // −8x^3 +16x^2 +2x −1 ; ; +8x^3 −8 ; cline3−6 endarray

Sommiamo termine a termine e riportiamo il risultato al di sotto della linea di separazione

beginarraycccccc|cc16x^(5) +0·x^(4) −8x^(3) +0x^(2) +2x −1 x^(3) −1 ; cline7−8 16x^(2) −8 ;−16x^5 +16x^2 ; cline1−6 // // −8x^3 +16x^2 +2x −1 ; ; +8x^3 −8 ; cline3−6 // +16x^2 +2x −9 endarray

Poiché il grado del polinomio resto è inferiore del grado del divisore, per cui l'algoritmo della divisione è giunto a termine.

Dalla tabella ricaviamo che il polinomio quoziente è

Q(x) = 16x^(2)−8

mentre il polinomio resto è

R(x) = 16x^2+2x−9

Ecco fatto!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Stella, Danni, davide9954
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