Divisione tra polinomio e monomio con esponenti letterali

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Divisione tra polinomio e monomio con esponenti letterali #33827

avt
FAQ
Punto
Dovrei risolvere un'esercizio sul calcolo del quoziente tra un polinomio e un monomio a esponenti letterali. Non ho problemi nel risolvere le divisioni più semplici, ma incontro un esponente letterale, non so proprio come andare avanti.

Calcolare la seguente divisione al variare del parametro naturale n, maggiore o al più uguale a 4:

(3x^{n+1}y^{n-3}-2x^{2n+1}y^{3n-1}+x^{3n+5}y^{n+2}):(-6x^{n}y^{n-4})

Grazie.
Ringraziano: LittleMar
 
 

Divisione tra polinomio e monomio con esponenti letterali #33846

avt
LittleMar
Design
Prima di calcolare il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio occorre controllare che sia soddisfatta la condizione di divisibilità: un polinomio è divisibile per un monomio se e solo se i suoi termini sono divisibili per il monomio dato.

Nella divisione

(3x^{n+1}y^{n-3}-2x^{2n+1}y^{3n-1}+x^{3n+5}y^{n+2}):(-6x^{n}y^{n-4})

i termini del polinomio sono 3x^{n+1}y^{n-3}, \ -2x^{2n+1}y^{3n-1}\ \mbox{e} \ x^{3n+5}y^{n+2} e sono tutti divisibili per -6x^{n}y^{n-4}, infatti per ogni numero naturale n\ge 4:

- i gradi dei termini sono maggiori o al più uguali a quello del monomio;

- ogni lettera del monomio compare in ciascun termine del polinomio, con esponenti maggiori o al più uguali.

Poiché la condizione di divisibilità è soddisfatta, il risultato della divisione sarà certamente un polinomio. Per poterlo calcolare, bisogna distribuire il monomio a ciascun termine del divisore e svolgere i calcoli che ne conseguono. Passiamo quindi da:

(3x^{n+1}y^{n-3}-2x^{2n+1}y^{3n-1}+x^{3n+5}y^{n+2}):(-6x^{n}y^{n-4})=

all'espressione:

=3x^{n+1}y^{n-3}:(-6x^{n}y^{n-4})+(-2x^{2n+1}y^{3n-1}):(-6x^{n}y^{n-4})+

+x^{3n+5}y^{n+2}:(-6x^{n}y^{n-4})=

A questo punto, svolgiamo le varie divisioni tra i monomi: basterà dividere i coefficienti e le parti letterali dei dividendi per i coefficienti e le parti letterali dei divisori.

Attenzione! Per dividere le parti letterali, occorre usare la regola sul quoziente di due potenze così da ricavare gli esponenti da dare alle lettere!

\\ =[3:(-6)]x^{n+1-n}y^{n-2-(n-4)}+[-2:(-6)]x^{2n+1-n}y^{3n-1-(n-4)}+

+[1:(-6)]x^{3n+5-n}y^{n+2-(n-4)}=

A questo punto sommiamo algebricamente i termini simili che compaiono nei vari esponenti, ricavando l'espressione:

=[3:(-6)]x y^{n-2-n+4}+[-2:(-6)]x^{n+1}y^{3n-1-n+4}+

+[1:(-6)]x^{2n+5}y^{n+2-n+4}=\\ \\ =[3:(-6)]x y^{2}+[-2:(-6)]x^{n+1}y^{2n+3}+[1:(-6)]x^{2n+5}y^{6}=

Per svolgere le divisioni tra i numeri interi, trasformiamole nel prodotto tra i dividendi e il reciproco dei divisori e usiamo la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai coefficienti

\\ =\left[3\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\right]x y^{2}+\left[-2\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right]x^{n+1}y^{2n+3}+\left[1\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\right]x^{2n+5}y^{6}= \\ \\ \\ =-\frac{1}{2}x y^{2}+\frac{1}{3}x^{n+1}y^{2n+3}-\frac{1}{6}x^{2n+5}y^{6}

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, xavier310
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Os