Soluzioni equazione di secondo grado parametrica

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Soluzioni equazione di secondo grado parametrica #33697

avt
Dam
Cerchio
Ciao, mi aiutereste con un esercizio sulle equazioni parametriche di secondo grado?

Determina i valori di a per cui le soluzioni dell'equazione

ax^2 - 2(a+3)x + a-6 = 0

sono:

- reali e discordi;

- entrambe positive;

Il primo punto l'ho risolto e esce a compreso tra 0 e 6. Il problema sta nel secondo punto...ed è un problema alquanto grave poiché non ho la più pallida idea di come risolverlo.

Potreste spiegarmelo? Grazie mille emt
 
 

Soluzioni equazione di secondo grado parametrica #33745

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Dam emt

Conosci la regola di Cartesio?
Ringraziano: Omega

Soluzioni equazione di secondo grado parametrica #33746

avt
Dam
Cerchio
non è la cosa che ho piu nitida in questo momento...ma se gli do una spolverata dovrei ricordarla emt

Soluzioni equazione di secondo grado parametrica #33750

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, quindi l'avrai studiata! emt

Per prima cosa, imponiamo la condizione di realtà delle soluzioni:

\Delta\ge 0\iff 4(a+3)^2-4a (a-6)\ge 0\iff a\ge -\frac{3}{4}

A questo punto studiamo i segni di ciascun coefficiente:

1. a>0

2.-2(a+3)>0\iff a<-3

3. a-6>0\iff a>6


A questo punto tabuli i segni solo per a\ge -\frac{3}{4}

\begin{matrix}a>0&:& -\frac{3}{4}----0++++++6+++++\\a<-3&:&-\frac{3}{4}----0------6-----\\a>6&:&-\frac{3}{4}----0------6+++++\end{matrix}

Ora conti le variazioni di segno dei coefficienti:

quando -\frac{3}{4}<a<0 hai due permanenze, due soluzioni negative.

Quando 0<a<6 abbiamo una variazione di segno (una radice è positiva) e una permanenza di segno (una radice è negativa) quindi se a è compresa tra 0 e 3 le radici sono discordi.

Infine per a>6 abbiamo due variazioni di segno quindi le radici sono positive.

Ricorda che ad ogni permanenza corrisponde una radice negativa e ad ogni variazione una radice positiva.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Soluzioni equazione di secondo grado parametrica #33757

avt
Dam
Cerchio
non capisco solo perchè ad a minore di meno tre c'è tutto tratteggiato emt

Soluzioni equazione di secondo grado parametrica #33760

avt
Ifrit
Amministratore
Perché noi ci siamo concentrati a studiare l'equazione parametrica quando abbiamo due radici reali (richiedendo quindi che \Delta\ge 0), ed effettivamente abbiamo radici reali se a\ge -\frac{3}{4}

il coefficiente di x, -2(a+3)> 0\iff a<-3 ma visto che stiamo lavorando lavorando solo per a\ge -\frac{3}{4} allora il coefficiente di x è sempre negativo emt

Inoltre, per completare lo studio, ti faccio notare che:

- se a=-\frac{3}{4} abbiamo due soluzioni reali e coincidenti ed entrambe negative.

- se a=0 non abbiamo un equazione parametrica di secondo grado, ma si riduce ad una equazione di primo grado la cui unica soluzione è:

x=-1

- se a=6 l'equazione parametrica ha due soluzioni reali e distinte di cui una è 0, il metodo di cartesio fallisce miseramente.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Soluzioni equazione di secondo grado parametrica #33761

avt
Dam
Cerchio
perfetto..grazie mille!!!!! emt
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Os