Esercizio scomposizione di un polinomio di 4 termini

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Esercizio scomposizione di un polinomio di 4 termini #33602

avt
Simone89
Cerchio
Mi è sorto un dubbio su come scomporre un polinomio con la tecnica del raccoglimento parziale. Come si usa il metodo, nel caso in cui nel polinomio figurano potenze di lettere? Devo usare le proprietà delle potenze, vero?

Usare il metodo del raccoglimento parziale per scomporre il seguente polinomio

x^2+a^2+x^3+a^2 x

Grazie mille.
 
 

Esercizio scomposizione di un polinomio di 4 termini #33605

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il polinomio

x^2+a^2+x^3+a^2 x

Il nostro obiettivo consiste nell'esprimerlo come prodotto di fattori irriducibili usando il metodo del raccoglimento parziale.

Per prima cosa, analizziamo i termini del polinomio e individuiamo i possibili fattori comuni, analizzandone le coppie. In questo caso, i termini del polinomio sono:

x^2 \ \ \ , \ \ \ a^2 \ \ \ , \ \ \ x^3 \ \ \ , \ \ \ a^2 x

I primi due termini condividono il fattore comune banale, 1, mentre il fattore comune agli ultimi due è x, essendo essa la lettera comune elevata all'esponente più piccolo.

Usando le proprietà delle potenze, e in particolare la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base, il polinomio

x^2+a^2+x^3+a^2 x=

si esprime nella forma

\\ =x^2+a^2+x(x^{3-1}+a^2x^{1-1})= \\ \\ = (x^2+a^2)+x(x^2+a^2)=

Questa espressione mette in risalto il fatto che x^2+a^2 è il fattore comune a x^2+a^2\ \mbox{e} \ x(x^2+a^2), per cui siamo autorizzati a metterlo in evidenza, seguendo la tecnica del raccoglimento totale.

=(x^2+a^2)(1+x)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, 21zuclo, Iccobo
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Os