Esercizio di scomposizione trinomio notevole con frazioni

In un esercizio mi viene chiesto di scomporre un polinomio di secondo grado a coefficienti fratti, usando la regola del trinomio notevole. Gli altri esercizi li ho svolti senza grosse difficoltà, però questo è fuori dalla mia portata.

Usare la regola del trinomio notevole per scomporre il seguente polinomio:



Grazie mille.

L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio



usando la regola del trinomio notevole. Prima di dedicarci alla fattorizzazione, è opportuno esprimere il polinomio a denominatore comune.



Invece di scomporre il polinomio a coefficienti fratti, fattorizzeremo quello a coefficienti interi, ossia



e in seguito moltiplicheremo la sua scomposizione per .

Esso è un trinomio notevole in cui il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da 1. Per innescare la tecnica, ricerchiamo due numeri tali che la loro somma sia uguale al coefficiente di e il loro prodotto sia uguale al prodotto tra il coefficiente di e il termine noto, ossia:



Osserviamo che il prodotto è negativo per cui sono due numeri discordi (è una conseguenza della regola dei segni).

Procedendo per tentativi, scopriamo che , infatti:



A questo punto, sostituiamo il coefficiente di con



distribuiamo



e usiamo la tecnica del raccoglimento parziale. In termini più espliciti raccogliamo tra il primo e il secondo termine e tra il terzo e quarto termine



Bene! Non ci resta che raccogliere totalmente e scrivere la scomposizione di



In conclusione, poiché abbiamo ricavato:



di conseguenza:



Abbiamo terminato.