Esercizio di scomposizione trinomio notevole con frazioni

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Esercizio di scomposizione trinomio notevole con frazioni #33438

avt
xavier310
Sfera
In un esercizio mi viene chiesto di scomporre un polinomio di secondo grado a coefficienti fratti, usando la regola del trinomio notevole. Gli altri esercizi li ho svolti senza grosse difficoltà, però questo è fuori dalla mia portata.

Usare la regola del trinomio notevole per scomporre il seguente polinomio:

x^2+\frac{x}{2}-3

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, screative
 
 

Esercizio di scomposizione trinomio notevole con frazioni #33449

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

x^2+\frac{x}{2}-3

usando la regola del trinomio notevole. Prima di dedicarci alla fattorizzazione, è opportuno esprimere il polinomio a denominatore comune.

x^2+\frac{x}{2}-3=\frac{2x^2+x-6}{2}=\frac{1}{2}(2x^2+x-6)

Invece di scomporre il polinomio a coefficienti fratti, fattorizzeremo quello a coefficienti interi, ossia

2x^2+x-6

e in seguito moltiplicheremo la sua scomposizione per \frac{1}{2}.

Esso è un trinomio notevole in cui il coefficiente del termine di secondo grado è diverso da 1. Per innescare la tecnica, ricerchiamo due numeri A\ \mbox{e} \ B tali che la loro somma sia uguale al coefficiente di x e il loro prodotto sia uguale al prodotto tra il coefficiente di x^2 e il termine noto, ossia:

A+B=1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=2\cdot (-6)=-12

Osserviamo che il prodotto è negativo per cui A \ \mbox{e} \ B sono due numeri discordi (è una conseguenza della regola dei segni).

Procedendo per tentativi, scopriamo che A=4 \ \mbox{e} \ B=-3, infatti:

A+B=4-3=1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=4\cdot(-3)=-12

A questo punto, sostituiamo il coefficiente di x con A+B=4-3

2x^2+x-6=2x^2+(4-3)x-6=

distribuiamo x

=2x^2+4x-3x-6=

e usiamo la tecnica del raccoglimento parziale. In termini più espliciti raccogliamo 2x tra il primo e il secondo termine e -3 tra il terzo e quarto termine

=2x(x+2)-3(x+2)=

Bene! Non ci resta che raccogliere totalmente x+2 e scrivere la scomposizione di 2x^2+x-6

=(2x-3)(x+2)

In conclusione, poiché abbiamo ricavato:

2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)

di conseguenza:

\\ x^2+\frac{x}{2}-3=\frac{1}{2}(2x^2+x-6)= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}(2x-3)(x+2)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, xavier310
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Os