Sistema di tre equazioni in tre incognite con modulo e radice

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Sistema di tre equazioni in tre incognite con modulo e radice #33363

avt
Wall
Cerchio
Mi servirebbe una mano per svolgere un esercizio sui sistemi in tre equazioni non lineari e in tre incognite. Nel sistema compaiono un'equazione irrazionale, un'equazione con valore assoluto fratta e un'equazione polinomiale di secondo grado. Le ho tentate tutte, senza venirne a capo.

Determinare, se esistono, tutte le triple (x,y,z) che soddisfano il seguente sistema:

\begin{cases}\sqrt{4x^2+y^2}=2|x|\\ \\ \dfrac{1}{|x|}-\dfrac{1}{|z|}+y=0\\ \\ x^2-xz+z-1=0\end{cases}

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, lorenzo45654, xavier310
 
 

Sistema di tre equazioni in tre incognite con modulo e radice #33364

avt
Omega
Amministratore
Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sul sistema di equazioni:

\begin{cases}\sqrt{4x^2+y^2}=2|x|\\ \\ \dfrac{1}{|x|}-\dfrac{1}{|z|}+y=0\\ \\ x^2-xz+z-1=0\end{cases}

bisogna discutere le condizioni di esistenza dei termini che vi compaiono.

La radice quadrata richiede che il proprio argomento sia non negativo per esistere:

4x^2+y^2\ge 0

Questa relazione è soddisfatta per tutti i valori reali di x, \ y\ \mbox{e} \ z, giacché la somma di due quadrati è certamente non negativa.

Bisogna stare attenti alle frazioni nella seconda relazione: affinché abbiano senso, richiederemo che i rispettivi denominatori siano diversi da zero. Imponiamo le disuguaglianze con i valori assoluti:

\\ |x|\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ |z|\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ z\ne 0

Nota: il valore assoluto di numero reale è positivo o al più nullo, in particolare è zero se e solo se è zero il suo argomento.

La terza equazione del sistema non ha alcuna richiesta di esistenza perché è di tipo polinomiale, pertanto possiamo asserire che il sistema è ben posto se le incognite soddisfano i vincoli:

C.E.\ : \ x\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ z\ne 0

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Terminata la dissertazione sull'insieme di esistenza, torniamo alla ricerca delle (eventuali) soluzioni di:

\begin{cases}\sqrt{4x^2+y^2}=2|x|\\ \\ \dfrac{1}{|x|}-\dfrac{1}{|z|}+y=0\\ \\ x^2-xz+z-1=0\end{cases}

esaminando l'equazione irrazionale

\sqrt{4x^2+y^2}=2|x|

Poiché i due membri sono concordi (sia la radice che il valore assoluto sono non negative), possiamo tranquillamente elevare al quadrato a destra e a sinistra

(\sqrt{4x^2+y^2})^2=(2|x|)^2

Le proprietà del valore assoluto e le proprietà delle potenze consentono di scrivere l'uguaglianza

(2|x|)^2=4x^2 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

mediante la quale, l'equazione precedente diventa:

4x^2+y^2=4x^2 \ \ \ \to \ \ \ y^2=0 \ \ \ \to \ \ \ y=0

Noto y, possiamo rimpiazzare il valore nelle altre equazioni del sistema che si tramuta nel seguente:

\begin{cases}y=0 \\ \\ \dfrac{1}{|x|}-\dfrac{1}{|z|}=0\\ \\ x^2-xz+z-1=0\end{cases}

La terza equazione è la più complicata da studiare, ecco perché ci concentriamo sulla seconda

\frac{1}{|x|}-\frac{1}{|z|}=0

Isoliamo il termine con x al primo membro

\frac{1}{|x|}=\frac{1}{|z|}

dopodiché passiamo ai reciproci delle frazioni

|x|=|z|

Per determinarne le soluzioni, usiamo la teoria delle equazioni con valore assoluto: l'uguaglianza sussiste se e solo se l'argomento del primo valore assoluto è uguale all'argomento del secondo, oppure al suo opposto.

|x|=|z|\ \ \ \iff \ \ \ x=-z \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ x=z

Esaminiamo separatamente i due casi:

- se x=-z, il sistema diventa

\begin{cases}y=0 \\ \\ x=-z \\ \\ (-z)^2-(-z)z+z-1=0\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}y=0 \\ \\ x=-z\\ \\ 2z^2+z-1=0\end{cases}

La terza relazione del sistema si è tramutata in un'equazione di secondo grado nella sola incognita z le cui soluzioni sono date dalla formula

z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}=\begin{cases}-1=z_1\\ \\ \frac{1}{2}=z_2\end{cases}

Se z=-1, il corrispettivo valore di x è 1, infatti:

x=-z=-(-1)=1

per cui (x,y,z)=(1,0,-1) è una soluzione del sistema (le coordinate soddisfano le condizioni di esistenza).

Se z=\frac{1}{2}, l'x associato è -\frac{1}{2}, infatti

x=-z=-\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}

per cui (x,y,z)=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) è un'ulteriore soluzione del sistema (le coordinate soddisfano le condizioni di esistenza).

Portato a termine il caso x=-z, occorre studiare cosa succede se x=z. In questo stato di cose, il sistema diventa:

\begin{cases}y=0 \\ \\ x=z\\ \\ z^2-z^2+z-1=0\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}y=0\\ \\ x=z\\ \\ z=1\end{cases}

da cui ricaviamo immediatamente la tripla

(x,y,z)=(1,0,1)

anch'essa soluzione poiché le sue coordinate sottostanno alle condizioni di esistenza. In definitiva, possiamo concludere che le triple che soddisfano il sistema

\begin{cases}\sqrt{4x^2+y^2}=2|x|\\ \\ \dfrac{1}{|x|}-\dfrac{1}{|z|}+y=0\\ \\ x^2-xz+z-1=0\end{cases}

sono

(x,y,z)=(1,0,-1)\ \ \ , \ \ \ (x,y,z)=\left(-\frac{1}{2}, 0 ,\frac{1}{2}\right) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (x,y,z)=(1,0,1)

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Pi Greco, lorenzo45654, Wall
  • Pagina:
  • 1
Os