Domanda sul delta (discriminante)?

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Domanda sul delta (discriminante)? #33158

avt
alberto1994
Punto
Ciao, ho una curiosità: faccio 5a scientifico, da quando ho trovato per la prima volta la formula del DELTA mi sono sempre chiesto come l'abbiano mai trovato. Qualcuno me lo spiega ? Non trovo articoli, niente di niente e la mia prof manco per scherzo lo sa...mi piacerebbe sapere delle cose su questo:

- come l'hanno trovato ?

- In base a quali necessità l'hanno trovato ? Cioe,perche l'hanno cercato ?

- si tratta di alta matematica ?

- da dove sono partiti per trovarlo ?

Sono curioso...se pensate che la domanda non sia pertinente con il sito o non sia adeguata a questo,eliminatela pure...è solo per sapere emt
Ringraziano: Danni
 
 

Domanda sul delta (discriminante)? #33159

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alberto.1994 emt

da quando ho trovato per la prima volta il DELTA mi sono sempre chiesto come l'abbiano mai trovato. Qualcuno me lo spiega ? Non trovo articoli

Sicuro? emt Nell'articolo come si arriva alla formula del discriminante è spiegato come si deduce la formula del delta a partire da una generica equazione di secondo grado. Le motivazioni non sono affatto auliche...

"L'obiettivo è riuscire a scrivere quell'equazione in modo da sfruttare la formula del quadrato di un binomio".

Sono curioso...se pensate che la domanda non sia pertinente con il sito o non sia adeguata a questo

Scherzi? La domanda è più che pertinente! emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Danni

Domanda sul delta (discriminante)? #33160

avt
21zuclo
Frattale
ciao emt

no non si tratta di alta matematica, l'alta matematica la si vede all'università dal secondo anno in poi..

Comunque partiamo dall'equazione di secondo grado

ax^2+bx+c=0


allora a\neq 0, moltiplichiamo entrambi i membri per 4a si ottiene l'equazione equivalente

4a^2 x^2+4abx+4ac=0

aggiungiamo ora b^2 ad entrambi i membri e trasportiamo il termine 4ac nel secondo membro

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac \to (2ax+b)^2=b^2-4ac

l'espressione b^2-4ac indica la lettera greca maiuscola delta e si chiama discriminante dell'equazione di partenza

\Delta=b^2-4ac

quando \Delta>0

(2ax+b)^2=b^2-4ac\to 2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\to

\to x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}

se non ti è chiaro chiedi pure emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Domanda sul delta (discriminante)? #33161

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao alberto1994 emt

E' strano che la tua insegnante non sappia da dove provenga il discriminante. E' una dimostrazione che si fa a suo tempo (cioè quando hai fatto le equazioni di secondo grado complete) ed è abbastanza standard.

Ad ogni modo iniziamo:

Abbiamo l'equazione completa:

ax^2+bx+c=0\qquad a\ne 0

Portiamo c al secondo membro:

ax^2+bx=-c

Per a\ne 0 moltiplichiamo membro a membro per 4a

4a^2 x^2+ 4ab x=-4ac

Sommiamo membro a membro per b^2, in modo da completare il quadrato al primo membro:

4a^2x^2+4ab x+b^2=b^2-4ac

Il primo membro è il quadrato di un binomio:

(2a x+b)^{2}=b^2-4ac

Ora osserva che il primo membro è sempre non negativo, il segno del secondo membro invece dipende dai parametri a,b,c i quali compongono la quantità b^2-4ac.

Per semplicità di esposizione poniamo:

\Delta= b^2-4ac (eccolo il nostro discriminante!)

Se \Delta\ge 0, l'equazione è coerente ed ammette soluzioni, se invece \Delta<0 l'equazione non ammette soluzioni reali perché in \mathbb{R} è impossibile che un numero negativo sia uguale ad un numero positivo (l'insieme reale è "ordinato")

Da

(2a x+b)^{2}=\Delta

estraiamo la radice quadrata membro a membro:

|2ax+b|=\sqrt{\Delta}

Per eliminare il valore assoluto, inseriamo il simbolo \pm al secondo membro:

2ax+b=\pm\sqrt{\Delta}

Isoliamo x:

2ax=-b\pm\sqrt{\Delta}

Dividiamo membro a membro per 2a (ricorda che a è diverso da zero, quindi possiamo dividere tranquillamente):

x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Che è la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete.

Il discriminante è nato comunque per una questione più che altro didattica.

Se hai dubbi, sono qui emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 21zuclo, Danni

Domanda sul delta (discriminante)? #33165

avt
Danni
Sfera
Ciao a tutti emt

Del nostro amico

\Delta

né tantomeno del parente prossimo (tanto comodo quanto misconosciuto)

\frac{\Delta}{4}

in Mesopotamia non ne sapevano nulla: ci sono pervenute tavolette di argilla su cui risolvevano equazioni quadratiche semplici con il metodo del completamento del quadrato, scartando però le soluzioni negative e lo zero.

Gli Egizi e poi i Greci utilizzavano metodi di algebra geometrica con le applicazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche (Euclide & C.)
Però della famosa formula ancora nessuna traccia.

Nel Manoscritto di Bakshali (India, tra il 200aC. e il 400d.C) appare per la prima volta la formula risolutiva o così sembra.
Di sicuro, anche se all'epoca pare fosse scoppiata una furibonda querelle come sempre tra scienziati, l'ho-detto-prima-io, il matematico Sridhara (India, c. 870 - c. 930) fu uno degli ideatori della formula,senz'altro il primo matematico noto per averla utilizzata.

La regola dettata da Sridhara per pervenire alla formula è questa:

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per una quantità nota uguale a quattro volte il coefficiente del quadrato dell'incognita; aggiungi ad entrambi i membri una quantità nota uguale al quadrato del coefficiente dell'incognita; quindi determina la radice quadrata.

Infine, il filosofo e storico Abraham bar Hiyya (1065 - 1136) fu il primo a diffondere la formula completa non solo nel mondo ebraico ma in tutta Europa.

*********

Chissà che meditando su quel

\pm \sqrt \Delta

qualche studentello (ma anche qualche adulto) non riesca finalmente a capire che non è

\sqrt4 = \pm2
emt emt emt

ma che è

\sqrt4 = 2

e che il doppio segno deriva invece da

\pm \sqrt4 = \pm2
emt emt emt

Buonanotte a tutti emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Domanda sul delta (discriminante)? #36106

avt
alberto1994
Punto
grazie mille a tutti siete stati molto utili mi avete aiutato tanto... E scusate del ritardo ma avevo da fare e non ho potuto controllare le risposte del mio post.... Grazie mille a tutti emtemtemt
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Os