Sistema di equazioni logaritmiche 3x3 #33005

avt
frida
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite, caratterizzato dalla presenza di diversi logaritmi. Il mio professore mi ha suggerito di usare le proprietà dei logaritmi per semplificare le espressioni che vi compaiono, però quali sono?

Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di equazioni

\begin{cases}\log_{3}\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)=0 \\ \\ \log_{2}(x)+\log_{2}(y)+\log_{2}(z)=\log_{2}(4)\\ \\ \log_{4}(2x+z+1)=\log_{4}(2)+1\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Danni
 
 

Sistema di equazioni logaritmiche 3x3 #33007

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito prevede di ricavare l'insieme delle soluzioni associato al sistema di equazioni:

\begin{cases}\log_{3}\left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)=0 \\ \\ \log_{2}(x)+\log_{2}(y)+\log_{2}(z)=\log_{2}(4)\\ \\ \log_{4}(2x+z+1)=\log_{4}(2)+1\end{cases}

ma prima occorre imporre i vincoli che garantiscono la buona posizione delle funzioni logaritmiche: detto in altri termini, bisogna imporre le condizioni di esistenza.

Affinché i vari logaritmi siano ben definiti, richiederemo che i loro argomenti siano maggiori di zero.

C.E. \ : \ \frac{x+y}{x-y}>0 \ \wedge \ \ x>0 \ \ \wedge \ \ y>0 \ \ \wedge \ \ z>0 \ \ \wedge \ \ 2x+z+1>0

Non è necessario semplificare i vincoli che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni; è opportuno tenere a mente che una tripla (x,y,z) dovrà soddisfarli contemporaneamente affinché essa sia soluzione del sistema.

Dopo questo brevissimo preambolo, procediamo con i passaggi algebrici: l'obiettivo che ci poniamo è quello di semplificare i membri delle varie equazioni che compongono il sistema.

Applichiamo la funzione esponenziale in base 3 ai due membri della prima equazione così da semplificare i logaritmi

\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}=1 \\ \\ \log_{2}(x)+\log_{2}(y)+\log_{2}(z)=\log_{2}(4)\\ \\ \log_{4}(2x+z+1)=\log_{4}(2)+1\end{cases}

Per la seconda equazione, usiamo la regola che consente di esprimere la somma di logaritmi nel logaritmo del prodotto dei loro argomenti

\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}=1 \\ \\ \log_{2}(x y z)=\log_{2}(4)\\ \\ \log_{4}(2x+z+1)=\log_{4}(2)+1\end{cases}

Una volta applicati ai due membri l'esponenziale in base 2, i logaritmi scompaiono dalla seconda equazione e il sistema diventa

\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}=1 \\ \\ x y z=4\\ \\ \log_{4}(2x+z+1)=\log_{4}(2)+1\end{cases}

L'ultima relazione richiede un passaggio algebrico più fine: occorre scrivere 1 in termini di logaritmi in base 4 e usare in seguito la formula per la somma di due logaritmi

\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}=1 \\ \\ x y z=4\\ \\ \log_{4}(2x+z+1)=\log_{4}(2)+\log_{4}(4)\end{cases}

da cui:

\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}=1 \\ \\ x y z=4\\ \\ \log_{4}(2x+z+1)=\log_{4}(8)\end{cases}

Applichiamo l'esponenziale in base 4 nell'ultima equazione e semplifichiamo a dovere: ci riconduciamo al sistema

\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}=1 \\ \\ x y z=4\\ \\ 2x+z+1=8\end{cases}

Moltiplichiamo a destra e a sinistra della prima equazione per x-y

\begin{cases}x+y=x-y \\ \\ x y z=4\\ \\ 2x+z+1=8\end{cases}

cancelliamo x e sommiamo i monomi simili.

\begin{cases}2y=0 \\ \\ x y z=4 \\ \\ 2x+z=7\end{cases}

Dalla relazione 2y=0 ricaviamo il valore che deve assumere y, ossia y=0, però una volta rimpiazzato nelle altre equazioni - e in particolare nella seconda - otteniamo un'uguaglianza falsa

xyz=4 \ \ \ \to \ \ \ 0=4

Ciò ci permette di concludere immediatamente che il sistema dato non ammette soluzioni, nel senso che non esiste alcuna tripla (x,y,z) che soddisfa il sistema di partenza. Detto in altre parole, l'insieme delle soluzioni S coincide con l'insieme vuoto: S=\emptyset.

Abbiamo finito.
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Os