Sistema di tre equazioni in tre incognite con equazione irrazionale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Sistema di tre equazioni in tre incognite con equazione irrazionale #33003

avt
Lucabig
Frattale
Dovrei risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite composto da un'equazione irrazionale nelle incognite x,\ y\ \mbox{e} \ z e da due equazioni lineari. Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, mi blocco perché i calcoli diventano via via sempre più complicati.

Dopo aver imposto le dovute condizioni di esistenza, determinare l'insieme delle soluzioni associato al sistema

\begin{cases}x+y=3\\ \\ \sqrt{x y+z-5}=0 \\ \\ x+y-z=0\end{cases}

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Sistema di tre equazioni in tre incognite con equazione irrazionale #33811

avt
thejunker
Frattale
Prima di determinare le soluzioni del sistema

\begin{cases}x+y=3\\ \\ \sqrt{x y+z-5}=0 \\ \\ x+y-z=0\end{cases}

occorre imporre le condizioni di esistenza: affinché la radice quadrata sia ben posta, richiederemo che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a zero, vale a dire:

C.E. \ : \ x y+z-5\ge 0

Sia chiaro che le coordinate delle triple (x,y,z) dovranno necessariamente soddisfare il vincolo precedente perché esse siano effettivamente soluzioni del sistema.

Sotto le condizioni di esistenza, possiamo procedere con i passaggi algebrici. Dalla prima equazione lineare esprimiamo una delle incognite in termini dell'altra - ad esempio x in termini di y

\begin{cases}x=3-y\\ \\ \sqrt{x y+z-5}=0 \\ \\ x+y-z=0\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta al posto di x nelle altre equazioni

\begin{cases}x=3-y\\ \\ \sqrt{(3-y) y+z-5}=0 \\ \\ 3-y+y-z=0\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=3-y\\ \\ \sqrt{3y-y^2+z-5}=0 \\ \\ 3-z=0\end{cases}

La terza relazione si è tramutata in un'equazione di primo grado nella sola z e da essa otteniamo il valore da attribuire all'incognita: z=3.

\begin{cases}x=3-y\\ \\ \sqrt{3y-y^2+z-5}=0 \\ \\ z=3\end{cases}

A questo punto, rimpiazziamo 3 al posto di z nella seconda e svolgiamo i calcoli.

\begin{cases}x=3-y\\ \\ \sqrt{3y-y^2-2}=0 \\ \\ z=3\end{cases}

La seconda è a conti fatti un'equazione irrazionale nell'incognita y, le cui soluzioni si ottengono imponendo la nullità del radicando

\begin{cases}x=3-y\\ \\ 3y-y^2-2=0 \\ \\ z=3\end{cases}

Consideriamo a parte l'equazione di secondo grado

3y-y^2-2=0 \ \ \ \to \ \ \ y^2-3y+2=0

e indicati con a, \ b \ \mbox{e} \ c i coefficienti del polinomio al primo membro, calcoliamone il discriminante associato

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1

Poiché il Delta è positivo, esistono due numeri reali che realizzano l'equazione e sono date dalla formula

\\ y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm \sqrt{1}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{3\pm 1}{2}=\begin{cases}\frac{3-1}{2}=1=y_{1}\\ \\ \frac{3+1}{2}=2=y_{2}\end{cases}

Se a y attribuiamo il valore 1, possiamo utilizzare la relazione x=3-y per ottenere l'x associato, cioè x=3-1=2, e scrivere la tripla:

(x,y,z)=(2,1,3)

Essa si candida a soluzione del sistema e lo è nel momento in cui soddisfa il vincolo che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, vale a dire

xy+z-5\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 2\cdot 1+3-5\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 0\ge 0 \ \ \ \mbox{Vero}!

Se a y attribuiamo il valore 2, il corrispettivo x è

x=3-y= 3-2=1

per cui (x,y,z)=(1,2,3) è un'ulteriore tripla che si candida a soluzione. Osserviamo che, anche in questa circostanza, le coordinate x=1, \ y=2 \ \mbox{e} \ z=3 realizzano la disuguaglianza:

xy+z-5\ge 0

pertanto anche (1,2,3) è soluzione del sistema iniziale.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os