mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3290

avt
revolution93
Punto
ciao a tutti....mi aiutate?
Data G(s)= 5/s2+7s+10 trovare l'antitrasformata dell'uscita U(s) nell'ipotesi di sollecitazione a gradino e a rampa.
 
 

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3649

avt
revolution93
Punto
nessuno?

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3662

avt
Omega
Amministratore
Ciao Revolution emt Il problema è che questa domanda non è argomento di studio in Matematica, ed essendo lo Staff composto prevalentemente da matematici...emt Però lasciamo aperto ugualmente la discussione: magari qualche utente può illuminarti sulla richiesta! emt
Ringraziano: frank094

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3666

avt
frank094
Sfera
revolution93 ha scritto:
ciao a tutti....mi aiutate?
Data G(s)= 5/s2+7s+10 trovare l'antitrasformata dell'uscita U(s) nell'ipotesi di sollecitazione a gradino e a rampa.

Ho provato ad informarmi un po' quindi non ti assicuro la correttezza dell'esercizio .. ci provo e magari vediamo come completarlo.

G(s) = \frac{5}{s^2 + 7s + 10}

Vogliamo scomporre la funzione al denominatore, risolviamo l'equazione di secondo grado:

s^2 + 7s + 10 = 0

\Delta_s = 49 - 40 = 9

s = \frac{-7 \pm 3}{2} \to s_1 = - 5, s_2 = - 2

Alla luce di quanto trovato riscriviamo la funzione come

G(s) = \frac{5}{(s + 5)(s + 2)}

Una volta scomposta proviamo a scriverla come somma di più frazioni ponendo

\frac{A}{s + 5} + \frac{B}{s + 2} = \frac{5}{(s + 5)(s + 2)}

A(s + 2) + B(s + 5) = 5

Troviamo il sistema

\left\{ \begin{matrix} A + B = 0 \\ 2A + 5B = 5 \end{matrix}

\left\{ \begin{matrix} A = - B \\ - 2B + 5B = 5 \end{matrix}

\left\{ \begin{matrix} A = - \frac{3}{5} \\ B = \frac{3}{5} \end{matrix}

Abbiamo quindi

- \frac{\frac{3}{5}}{s + 5} + \frac{\frac{3}{5}}{s + 2} = \frac{5}{(s + 5)(s + 2)}

I termini al numeratore sono semplici residui che possiamo raccogliere:

G(s) = -\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{s + 5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{s + 2}

Sappiamo che l'antitrasformata di una funzione del tipo

F(s) = \frac{1}{s + K}

è

f(s) = e^{Kt}

troviamo che

\Psi^{-1}[U(s)] = - \frac{3}{5} e^{-5t} + \frac{3}{5} e^{-2t}

Però leggo che si deve ipotizzare una sollecitazione a scalino ed una a rampa .. vuol per caso dire nel primo caso che bisogna moltiplicare per s prima di fare tutto questo processo? E nel secondo caso?

Sai fornirmi qualche documento al riguardo? .. magari do una occhiata e vediamo che ci esce emt !
Ringraziano: Omega, Ifrit

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3671

avt
revolution93
Punto
il gradino sarebbe 1/s e la rampa 1/s2

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3674

avt
frank094
Sfera
G(s) = \frac{5}{s(s + 2)(s + 5)}

Bisogna di nuovo scomporre in frazioni con denominatore polinomio di primo grado in s con il metodo dei razionali fratti:

G(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{s + 5}

A(s^2 + 7s + 10) + B(s^2 + 5s) + C(s^2 + 2s) = 5

Viene fuori il sistema

\left\{ \begin{matrix} A + B + C = 0 \\ 7A + 5B + 2C = 0 \\ 10 A = 5 \end{matrix}

Si scompone quindi in

G(s) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s} - \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{s + 2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s + 5}

A questo punto per l'antitrasformata facciamo come prima

\Psi^{-1}[U(s)] = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} \cdot e^{-2t} + \frac{1}{3} \cdot e^{-5t}

Intanto mi confermi questo risultato? Per s2 se ho un po' di tempo fra poco altrimenti se ne riparla domani, ok emt ?
Ringraziano: Omega

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3675

avt
frank094
Sfera
Ok, faccio in tempo emt !

G(s) = \frac{5}{s^2(s + 2)(s + 5)}

Con il metodo dei fratti semplici lo scomponiamo in

G(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{C}{s + 2} + \frac{D}{s + 5}

(s^3 + 7s^2 + 10s)A + (s^2 + 7s + 10)B + (s^3 + 5s^2)C + (s^3 + 2s^2)D = 5

Otteniamo il sistema a quattro incognite

\left\{ \begin{matrix} A + B + D = 0 \\ 7A + B + 5C + 2D = 0 \\ 10A + 7B = 0 \\ 10B = 5 \end{matrix}

Otteniamo quindi

G(s) = - \frac{7}{20} \cdot \frac{1}{s} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} + \frac{9}{20} \cdot \frac{1}{s + 2} - \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{s + 5}

L'antitrasformata è dunque

\Psi^{-1}[U(s)] = - \frac{7}{20} + \frac{t}{2} + \frac{9}{20} \cdot e^{-2t} - \frac{3}{20} \cdot e^{-5t}
Ringraziano: Omega, revolution93

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3956

avt
revolution93
Punto
ma t/2 perchè?

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3974

avt
frank094
Sfera
Perché l'antitrasformata di \frac{1}{s^2} è t.
Ringraziano: Omega, revolution93
  • Pagina:
  • 1
Os