mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3290

avt
revolution93
Punto
ciao a tutti....mi aiutate?
Data G(s)= 5/s2+7s+10 trovare l'antitrasformata dell'uscita U(s) nell'ipotesi di sollecitazione a gradino e a rampa.
 
 

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3649

avt
revolution93
Punto
nessuno?

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3662

avt
Omega
Amministratore
Ciao Revolution emt Il problema è che questa domanda non è argomento di studio in Matematica, ed essendo lo Staff composto prevalentemente da matematici...emt Però lasciamo aperto ugualmente la discussione: magari qualche utente può illuminarti sulla richiesta! emt
Ringraziano: frank094

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3666

avt
frank094
Sfera
revolution93 ha scritto:
ciao a tutti....mi aiutate?
Data G(s)= 5/s2+7s+10 trovare l'antitrasformata dell'uscita U(s) nell'ipotesi di sollecitazione a gradino e a rampa.

Ho provato ad informarmi un po' quindi non ti assicuro la correttezza dell'esercizio .. ci provo e magari vediamo come completarlo.

G(s) = (5)/(s^2+7s+10)

Vogliamo scomporre la funzione al denominatore, risolviamo l'equazione di secondo grado:

s^2+7s+10 = 0

Δ_s = 49-40 = 9

s = (-7±3)/(2) → s_1 = -5, s_2 = -2

Alla luce di quanto trovato riscriviamo la funzione come

G(s) = (5)/((s+5)(s+2))

Una volta scomposta proviamo a scriverla come somma di più frazioni ponendo

(A)/(s+5)+(B)/(s+2) = (5)/((s+5)(s+2))

A(s+2)+B(s+5) = 5

Troviamo il sistema

A+B = 0 ; 2A+5B = 5

A = -B ;-2B+5B = 5

A = -(3)/(5) ; B = (3)/(5)

Abbiamo quindi

-((3)/(5))/(s+5)+((3)/(5))/(s+2) = (5)/((s+5)(s+2))

I termini al numeratore sono semplici residui che possiamo raccogliere:

G(s) = -(3)/(5)·(1)/(s+5)+(3)/(5)·(1)/(s+2)

Sappiamo che l'antitrasformata di una funzione del tipo

F(s) = (1)/(s+K)

è

f(s) = e^(Kt)

troviamo che

Ψ^(-1)[U(s)] = -(3)/(5) e^(-5t)+(3)/(5) e^(-2t)

Però leggo che si deve ipotizzare una sollecitazione a scalino ed una a rampa .. vuol per caso dire nel primo caso che bisogna moltiplicare per s prima di fare tutto questo processo? E nel secondo caso?

Sai fornirmi qualche documento al riguardo? .. magari do una occhiata e vediamo che ci esce emt !
Ringraziano: Omega, Ifrit

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3671

avt
revolution93
Punto
il gradino sarebbe 1/s e la rampa 1/s2

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3674

avt
frank094
Sfera
G(s) = (5)/(s(s+2)(s+5))

Bisogna di nuovo scomporre in frazioni con denominatore polinomio di primo grado in s con il metodo dei razionali fratti:

G(s) = (A)/(s)+(B)/(s+2)+(C)/(s+5)

A(s^2+7s+10)+B(s^2+5s)+C(s^2+2s) = 5

Viene fuori il sistema

A+B+C = 0 ; 7A+5B+2C = 0 ; 10 A = 5

Si scompone quindi in

G(s) = (1)/(2)·(1)/(s)-(5)/(6)·(1)/(s+2)+(1)/(3)·(1)/(s+5)

A questo punto per l'antitrasformata facciamo come prima

Ψ^(-1)[U(s)] = (1)/(2)-(5)/(6)·e^(-2t)+(1)/(3)·e^(-5t)

Intanto mi confermi questo risultato? Per s2 se ho un po' di tempo fra poco altrimenti se ne riparla domani, ok emt ?
Ringraziano: Omega

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3675

avt
frank094
Sfera
Ok, faccio in tempo emt !

G(s) = (5)/(s^2(s+2)(s+5))

Con il metodo dei fratti semplici lo scomponiamo in

G(s) = (A)/(s)+(B)/(s^2)+(C)/(s+2)+(D)/(s+5)

(s^3+7s^2+10s)A+(s^2+7s+10)B+(s^3+5s^2)C+(s^3+2s^2)D = 5

Otteniamo il sistema a quattro incognite

A+B+D = 0 ; 7A+B+5C+2D = 0 ; 10A+7B = 0 ; 10B = 5

Otteniamo quindi

G(s) = -(7)/(20)·(1)/(s)+(1)/(2)·(1)/(s^2)+(9)/(20)·(1)/(s+2)-(3)/(20)·(1)/(s+5)

L'antitrasformata è dunque

Ψ^(-1)[U(s)] = -(7)/(20)+(t)/(2)+(9)/(20)·e^(-2t)-(3)/(20)·e^(-5t)
Ringraziano: Omega, revolution93

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3956

avt
revolution93
Punto
ma t/2 perchè?

Re: mi aiutate a fare l'antitrasformata? #3974

avt
frank094
Sfera
Perché l'antitrasformata di (1)/(s^2) è t.
Ringraziano: Omega, revolution93
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Os