Sistema di equazioni trigonometriche 3x3

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Sistema di equazioni trigonometriche 3x3 #32804

avt
frida
Cerchio
Ho bisogno di una mano per risolvere un sistema trigonometrico in tre equazioni e in tre incognite. Nonostante abbia utilizzato diverse tecniche risolutive, non riesco a ottenere i risultati del libro. Potreste aiutarmi?

Determinare tutte le triple reali (x,y,z) che realizzano contemporaneamente le equazioni del seguente sistema goniometrico.

\begin{cases}\sin(x+y+z)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ x+y-z=0 \\ \\ \sin(x-y+z)=1\end{cases}

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Danni, angiolet89, Hesse
 
 

Sistema di equazioni trigonometriche 3x3 #32811

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di determinare tutte le triple (x,y,z) che soddisfano il sistema di equazioni

\begin{cases}\sin(x+y+z)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ x+y-z=0 \\ \\ \sin(x-y+z)=1\end{cases}

Si noti che nel sistema compaiono due equazioni goniometriche in soli seni e un'equazione lineare nelle incognite x, \ y \ \mbox{e} \ z.

Per poter ricavare le triple soluzione, usiamo l'equazione lineare per esprimere una delle incognite in termini delle altre due: la scelta spetta a noi e non modifica la difficoltà dell'esercizio - a titolo di esempio espliciteremo y.

\begin{cases}\sin(x+y+z)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ y=z-x \\ \\ \sin(x-y+z)=1\end{cases}

Rimpiazziamo l'espressione ottenuta nelle altre relazioni, cosicché si riducano a equazioni nelle incognite x\ \mbox{e} \ y.

\begin{cases}\sin(x+z-x+z)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ y=z-x \\ \\ \sin(x-(z-x)+z)=1\end{cases}

Svolgiamo i semplici calcoli all'interno degli argomenti dei seni

\begin{cases}\sin(2z)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ y=z-x \\ \\ \sin(2x)=1\end{cases}

Grazie alla sostituzione, la prima e la terza relazione del sistema si sono tramutate in due equzioni goniometriche elementari in una sola variabile: dovremmo ormai conoscere la strategia risolutiva!

Consideriamo la prima equazione

\sin(2z)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Ricordando che il seno di un angolo è uguale a \frac{\sqrt{2}}{2} se e solo se l'angolo è uguale a \frac{\pi}{4} oppure uguale a \frac{3\pi}{4} a meno di multipli di 2\pi (sono angoli notevoli del seno), ricaviamo:

2z=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ 2z=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Dividendo i due membri per due, le relazioni forniscono i valori che deve assumere l'incognita z

z=\frac{\pi}{8}+k\pi \ \ \ \vee \ \ \ z=\frac{3\pi}{8}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Teniamo da parte questi valori e occupiamoci della terza equazione del sistema, ossia

\sin(2x)=1

Essa è soddisfatta nel momento in cui l'argomento del seno è uguale a \frac{\pi}{2} a meno di multipli di 2\pi, ossia se:

2x=\frac{\pi}{2}+2k_{1}\pi \ \ \ \mbox{con} \ k_{1}\in\mathbb{Z}

Dividendo per 2 membro a membro, otteniamo i valori che deve assumere x, vale a dire:

x=\frac{\pi}{4}+k_{1}\pi \ \ \ \mbox{con} \ k_{1}\in\mathbb{Z}

Noti x\ \mbox{e} \ z, la relazione y=z-x permette di ottenere i valori da associare a y, più precisamente:

- a z=\frac{\pi}{8}+k\pi e a x=\frac{\pi}{4}+k_{1}\pi associamo

y=\frac{\pi}{8}+k\pi -\left(\frac{\pi}{4}+k_{1}\pi\right)=-\frac{\pi}{8}+k\pi -k_{1}\pi

- a z=\frac{3\pi}{8}+k\pi e a x=\frac{\pi}{4}+k_{1}\pi associamo, invece:

y=\frac{3\pi}{8}+k\pi -\left(\frac{\pi}{4}+k_{1}\pi\right)=\frac{\pi}{8}+k\pi -k_{1}\pi

dove k\ \mbox{e} \ k_{1} sono due numeri interi qualsiasi.

Possiamo finalmente scrivere le due famiglie di soluzioni associati al sistema

\begin{cases}\sin(x+y+z)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ x+y-z=0 \\ \\ \sin(x-y+z)=1\end{cases}

Esse sono

\\ (x,y,z)=\left(\frac{\pi}{4}+k_{1}\pi, \ -\frac{\pi}{8}+k\pi-k_{1}\pi , \ \frac{\pi}{4}+k_{1}\pi\right) \\ \\ \mbox{e} \\ \\ (x,y,z)=\left(\frac{\pi}{4}+k_{1}\pi, \ \frac{\pi}{8}+k\pi - k_{1}\pi, \ \frac{3\pi}{8}+k\pi\right)

con k\ \mbox{e} \ k_{1} interi.

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni, angiolet89
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Os