Esercizio sul raccoglimento con polinomio di 5 termini

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Esercizio sul raccoglimento con polinomio di 5 termini #32695

francy84 Frattale	Mi è capitato un esercizio particolarmente complicato sulla scomposizione di polinomi, da risolvere con la tecnica del raccoglimento parziale. Non ho riscontrato difficoltà con gli altri esercizi, è proprio questo che non vuole proprio venire. Usare il metodo del raccoglimento parziale per scomporre il polinomio: Grazie.

Esercizio sul raccoglimento con polinomio di 5 termini #32696

Ifrit

Ambasciatore

Il testo dell'esercizio suggerisce di usare il metodo del raccoglimento parziale per scomporre il polinomio

Per prima cosa, esaminiamo con attenzione i termini del polinomio:

$(x-y)(x+y)^{2} \ \ \ , \ \ \ -4ax \ \ \ , \ \ \ -4ay \ \ \ , \ \ \ x y^2 \ \ \ ,\ \ \ y^3$

Aguzzando la vista, ci accorgiamo immediatamente che il secondo e il terzo condividono il fattore comune

, mentre il quarto e il quinto hanno $y^{2}$ in comune. Procedendo con il raccoglimento parziale, il polinomio

diventa

$=(x-y)(x+y)^{2}-4a(x+y)+y^2(x+y)=$

A questo punto, bisogna operare il raccoglimento totale di

, cosicché il polinomio dato si possa esprimere nel prodotto tra

e il polinomio i cui termini si ottengono dividendo $(x-y)(x+y)^2, \ -4a(x+y)\ \mbox{e} \ y^{2}(x+y)$ per

. Sia chiaro che non è necessario svolgere le varie divisioni: basta interpellare le proprietà delle potenze, e in particolare la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base. È proprio grazie a questa regola che l'espressione diventa

$\\ =(x+y)\left[(x-y)(x+y)^{2-1}-4a(x+y)^{1-1}+y^{2}(x+y)^{1-1}\right]=\\ \\ =(x+y)\left[(x-y)(x+y)-4a(x+y)^{0}+y^{2}(x+y)^{0}\right]=\\ \\ =(x+y)\left[(x-y)(x+y)-4a+y^2\right]=$

Esplicitiamo il prodotto tra $x-y\ \mbox{e} \ x+y$

$=(x+y)\left[x^2+xy-xy-y^{2}-4a+y^2\right]=$

e infine sommiamo tra loro i monomi simili, così da ricavare la scomposizione del polinomio espressa in forma normale.

$=(x+y)\left[x^2-4a\right]$

Abbiamo terminato.

Ringraziano: Omega, francy84, Danni

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