Esercizio sul raccoglimento con polinomio di 5 termini

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Esercizio sul raccoglimento con polinomio di 5 termini #32695

avt
francy84
Frattale
Mi è capitato un esercizio particolarmente complicato sulla scomposizione di polinomi, da risolvere con la tecnica del raccoglimento parziale. Non ho riscontrato difficoltà con gli altri esercizi, è proprio questo che non vuole proprio venire.

Usare il metodo del raccoglimento parziale per scomporre il polinomio:

(x-y)(x+y)^2-4ax-4ay+xy^3+y^3

Grazie.
 
 

Esercizio sul raccoglimento con polinomio di 5 termini #32696

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il testo dell'esercizio suggerisce di usare il metodo del raccoglimento parziale per scomporre il polinomio

(x-y)(x+y)^2-4ax-4ay+xy^2+y^3

Per prima cosa, esaminiamo con attenzione i termini del polinomio:

(x-y)(x+y)^{2} \ \ \ , \ \ \ -4ax \ \ \ , \ \ \ -4ay \ \ \ ,  \ \ \ x y^2 \ \ \  ,\ \ \ y^3

Aguzzando la vista, ci accorgiamo immediatamente che il secondo e il terzo condividono il fattore comune -4a, mentre il quarto e il quinto hanno y^{2} in comune. Procedendo con il raccoglimento parziale, il polinomio

(x-y)(x+y)^2-4ax-4ay+xy^2+y^3=

diventa

=(x-y)(x+y)^{2}-4a(x+y)+y^2(x+y)=

A questo punto, bisogna operare il raccoglimento totale di x+y, cosicché il polinomio dato si possa esprimere nel prodotto tra x+y e il polinomio i cui termini si ottengono dividendo (x-y)(x+y)^2, \ -4a(x+y)\ \mbox{e} \ y^{2}(x+y) per x+y. Sia chiaro che non è necessario svolgere le varie divisioni: basta interpellare le proprietà delle potenze, e in particolare la regola sul quoziente di due potenze con la stessa base. È proprio grazie a questa regola che l'espressione diventa

\\ =(x+y)\left[(x-y)(x+y)^{2-1}-4a(x+y)^{1-1}+y^{2}(x+y)^{1-1}\right]=\\ \\ =(x+y)\left[(x-y)(x+y)-4a(x+y)^{0}+y^{2}(x+y)^{0}\right]=\\ \\ =(x+y)\left[(x-y)(x+y)-4a+y^2\right]=

Esplicitiamo il prodotto tra x-y\ \mbox{e} \ x+y

=(x+y)\left[x^2+xy-xy-y^{2}-4a+y^2\right]=

e infine sommiamo tra loro i monomi simili, così da ricavare la scomposizione del polinomio espressa in forma normale.

=(x+y)\left[x^2-4a\right]

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, francy84, Danni
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Os