Equazione con tangente e cotangente

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Equazione con tangente e cotangente #32572

terry Banned	Ho bisogno di un piccolo aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica con tangente e cotangente. Tendendo presente le proprietà degli archi complementari e degli archi associati, trovare i valori dell'arco che soddisfa la seguente eguaglianza $\tan\left(10^{\circ} - x\right)=-\cot\left(3x - 20^{\circ}\right)$ Grazie.

Equazione con tangente e cotangente #32687

Danni

Sfera

Consideriamo l'equazione goniometrica

$\tan(10^{\circ}-x)=-\cot(3x - 20^\circ)$

Prima di procedere con i calcoli, bisogna imporre le condizioni di esistenza. Affinché la tangente sia ben definita, il suo argomento dev'essere diverso da $90^{\circ}+360^{\circ}k$ , vale a dire

$10^{\circ}-x\ne 90^{\circ}+360^{\circ}k$

da cui

$x\ne -80^{\circ}-360^{\circ}k$

Per quanto concerne la cotangente, affinché sia ben posta richiederemo che il suo argomento sia diverso da $360^{\circ}k$

$3x-20^{\circ}\ne360^{\circ}k$

da cui

$x\ne\frac{20^{\circ}}{3}+120^{\circ}k$

L'equazione è quindi ben posta sotto i vincoli

$C.E.:\ x\ne -80^{\circ}-360^{\circ}k \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne\frac{20^{\circ}}{3}+120^{\circ}k$

dove $k\in\mathbb{Z}$ .

Il metodo migliore per risolverla consiste nell'avvalersi delle proprietà di cui gode la cotangente: poiché è una funzione dispari, possiamo riscrivere l'equazione nella forma equivalente

$\tan(10^{\circ}-x)=\cot(20^{\circ}-3x)$

A questo punto sfruttiamo a nostro vantaggio le relazioni goniometriche per angoli associati e in particolare quella che consente di esprimere la cotangente in termini della tangente

$\cot(\alpha)=\tan\left(90^{\circ}-\alpha\right)$

Essa garantisce l'uguaglianza

$\\ \cot(20^{\circ}-3x)=\tan\left(90^{\circ}-(20^{\circ}-3x)\right)= \\ \\ = \tan\left(70^{\circ}+3x\right)$

mediante la quale l'equazione data diventa

$\tan(10^{\circ}-x)=\tan(70^{\circ}+3x)$

Per via della periodicità, due angoli hanno la stessa tangente se e solo se sono differiscono di un multiplo intero di $180^{\circ}$ , ossia

$10^{\circ}-x=70^{\circ}+3x+180^{\circ}\cdot k$

dove

è un numero intero. Risolviamo l'equazione di primo grado isolando l'incognita

al primo membro

$-4x =60^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}$

Cambiamo i segni ai due membri

$4x =-60^{\circ}-k\cdot 180^{\circ}$

e infine dividiamo i due membri per 4, ricavando così la famiglia di soluzioni

$x=-15^{\circ}-k\cdot 45^{\circ}$

Ecco fatto.

Ti lascio il link ad una guida estremamente utile: come risolvere le equazioni goniometriche.

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, 21zuclo, terry

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