Equazione con tangente e cotangente #32572

avt
terry
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Ho bisogno di un piccolo aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica con tangente e cotangente.

Tendendo presente le proprietà degli archi complementari e degli archi associati, trovare i valori dell'arco x che soddisfa la seguente eguaglianza

\tan\left(10^{\circ} - x\right)=-\cot\left(3x - 20^{\circ}\right)

Grazie.
 
 

Equazione con tangente e cotangente #32687

avt
Danni
Sfera
Consideriamo l'equazione goniometrica

\tan(10^{\circ}-x)=-\cot(3x - 20^\circ)

Prima di procedere con i calcoli, bisogna imporre le condizioni di esistenza. Affinché la tangente sia ben definita, il suo argomento dev'essere diverso da 90^{\circ}+360^{\circ}k, vale a dire

10^{\circ}-x\ne 90^{\circ}+360^{\circ}k

da cui

x\ne -80^{\circ}-360^{\circ}k

Per quanto concerne la cotangente, affinché sia ben posta richiederemo che il suo argomento sia diverso da 360^{\circ}k

3x-20^{\circ}\ne360^{\circ}k

da cui

x\ne\frac{20^{\circ}}{3}+120^{\circ}k

L'equazione è quindi ben posta sotto i vincoli

C.E.:\ x\ne -80^{\circ}-360^{\circ}k \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne\frac{20^{\circ}}{3}+120^{\circ}k

dove k\in\mathbb{Z}.

Il metodo migliore per risolverla consiste nell'avvalersi delle proprietà di cui gode la cotangente: poiché è una funzione dispari, possiamo riscrivere l'equazione nella forma equivalente

\tan(10^{\circ}-x)=\cot(20^{\circ}-3x)

A questo punto sfruttiamo a nostro vantaggio le relazioni goniometriche per angoli associati e in particolare quella che consente di esprimere la cotangente in termini della tangente

\cot(\alpha)=\tan\left(90^{\circ}-\alpha\right)

Essa garantisce l'uguaglianza

\\ \cot(20^{\circ}-3x)=\tan\left(90^{\circ}-(20^{\circ}-3x)\right)= \\ \\ = \tan\left(70^{\circ}+3x\right)

mediante la quale l'equazione data diventa

\tan(10^{\circ}-x)=\tan(70^{\circ}+3x)

Per via della periodicità, due angoli hanno la stessa tangente se e solo se sono differiscono di un multiplo intero di 180^{\circ}, ossia

10^{\circ}-x=70^{\circ}+3x+180^{\circ}\cdot k

dove k è un numero intero. Risolviamo l'equazione di primo grado isolando l'incognita x al primo membro

-4x =60^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}

Cambiamo i segni ai due membri

4x =-60^{\circ}-k\cdot 180^{\circ}

e infine dividiamo i due membri per 4, ricavando così la famiglia di soluzioni

x=-15^{\circ}-k\cdot 45^{\circ}

Ecco fatto.

Ti lascio il link ad una guida estremamente utile: come risolvere le equazioni goniometriche.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, 21zuclo, terry
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Os