Modulo e fase di due numeri complessi

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Modulo e fase di due numeri complessi #3242

avt
revolution93
Cerchio
Ciao, mi aiutate con un esercizio su modulo e fase di due numeri complessi?

L'esercizio dice: dati i due numeri complessi

z_1= 5-2i \ \ \ ; \ \ \ z_2=4+i

trovare modulo e fase e scriverli in notazione esponenziale. Dopo, trovare il rapporto \frac{z_1}{z_2} e il prodotto z_1\cdot z_2 sia in forma esponenziale.

Grazie a tutti!
 
 

Re: Modulo e fase di due numeri complessi #3247

avt
Omega
Amministratore
Ciao Revolution93,

il testo chiede di determinare il modulo e la fase dei numeri complessi

z_1=5-2i,\ \ \ z_2=4+i

Iniziamo con le definizioni di modulo e fase: dato un generico numero complesso z scritto in forma algebrica come

z=x+iy

dove Re(z)=x\in\mathbb{R} è la parte reale e Im(z)=y\in\mathbb{R} è la parte immaginaria, il modulo di z è definito da

\rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2}

mentre la fase, o argomento, è definita come indicato in questa lezione: modulo e argomento di un numero complesso. Scegliamo di prendere la fase nell'intervallo (-\pi,+\pi], per cui in riferimento alla tabella della lezione

\theta=Arg(z)=\arctan{\left(\frac{y}{x}\right)}\mbox{ se }Re(z)=x>0

Passiamo ai calcoli. I moduli sono

\\ \rho_1=|z_1|=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ \\ \rho_2=|z_2|=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}

mentre gli argomenti sono (in entrambi i casi la parte reale è positiva)

\\ \theta_1=Arg(z_1)=\arctan{\left(\frac{-2}{5}\right)}\\ \\ \theta_2=Arg(z_2)=\arctan{\left(\frac{1}{4}\right)}

Per avere la forma esponenziale, è sufficiente scrivere i due numeri complessi nella forma

z=\rho e^{i\theta}

dunque

z_1=\sqrt{29}e^{i\arctan\left(-\frac{2}{5}\right)} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ z_2=\sqrt{17}e^{i\arctan\left(\frac{1}{4}\right)}

Calcoliamo il rapporto tra i due numeri complessi in forma algebrica

\frac{z_1}{z_2}=\frac{5-2i}{4+i}

il trucco algebrico da usare in questi casi consiste nello sfruttare la regola della differenza di quadrati per ridurre il denominatore ad un numero reale: una sorta di razionalizzazione (termine molto improprio, che però rende bene l'idea). Tra l'altro, moltiplicando sia a numeratore che a denominatore per una stessa quantità il rapporto non cambia, perché è come se stessimo moltiplicando per 1.

\frac{z_1}{z_2}=\frac{(5-2i)}{(4+i)}\frac{(4-i)}{(4-i)}=

Ora: calcoli. Si trova

=\frac{18-13i}{17}=\frac{18}{17}-\frac{13}{17}i

Il fatto di avere un numero reale a denominatore ci ha consentito di dividere termine a termine e di ottenere la forma cartesiana (o algebrica) del rapporto. Ora non ci resta che calcolare modulo e argomento

\\ \rho=\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\sqrt{493}}{17}\\ \\ \theta=\arctan{\left(-\frac{13}{18}\right)}

e scrivere il tutto in forma esponenziale

\frac{z_1}{z_2}=\rho e^{i\theta}=\frac{\sqrt{493}}{17}e^{i\arctan\left(\frac{13}{18}\right)}

Per quanto riguarda il prodotto, si procede in maniera del tutto analoga. In realtà è ancora più semplice: basta eseguire il prodotto

z_1\cdot z_2=(5-2i)(4+i)=22-3i

determinare il modulo e l'argomento del risultato

\\ \rho=|z_1\cdot z_2|=\sqrt{493}\\ \\ \theta=Arg(z_1\cdot z_2)=\arctan{\left(-\frac{3}{22}\right)}

ed infine scrivere il tutto in forma esponenziale

z_1\cdot z_2=\rho e^{i\theta}=\sqrt{493}\cdot e^{i\arctan\left(-\frac{3}{22}\right)}

Abbiamo finito!
Ringraziano: frank094, Ifrit, matteo, w.white

Re: Modulo e fase di due numeri complessi #3289

avt
revolution93
Cerchio
Grazie mille, tutto risolto
Ringraziano: Omega
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Os