Esercizio: scomporre una somma di cubi con numero decimale

Avrei bisogno del vostro aiuto per scomporre un binomio di terzo grado a coefficienti decimali. La traccia mi impone di usare il prodotto notevole sulla somma di cubi, però non ci riesco.

Scomporre in fattori la seguente somma di cubi:



Grazie mille.

Prima di scomporre il polinomio



conviene trasformare il numero decimale nella sua frazione generatrice, ossia quella frazione che ha al numeratore il numero senza la virgola e per denominatore un 1 seguito da tanti zeri quanti sono le cifre che compongono la parte decimale:



dove nell'ultimo passaggio, abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 8.

Alla luce di quanto fatto, il binomio diventa:



il quale non è altro che la somma di due cubi, pertanto possiamo fare affidamento sul prodotto notevole:



Esso permette di esprimere la somma di due cubi mediante il prodotto tra la somma delle loro basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, il prodotto tra la prima base e la seconda cambiato di segno e il quadrato della seconda base.

Esaminiamo un momento il binomio



e estrapoliamo le basi dei due cubi:

- la base di è chiaramente ;

- la base di è , grazie alle proprietà delle potenze, siamo autorizzati a scrivere le seguenti uguaglianze:



Siamo in dirittura di arrivo, possiamo finalmente scomporre il binomio usando il prodotto notevole, grazie al quale otteniamo:



Poiché



è un falso quadrato irriducibile, possiamo mettere finalmente un punto all'esercizio.