Esercizio: scomporre una somma di cubi con numero decimale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio: scomporre una somma di cubi con numero decimale #32409

avt
Francy91
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per scomporre un binomio di terzo grado a coefficienti decimali. La traccia mi impone di usare il prodotto notevole sulla somma di cubi, però non ci riesco.

Scomporre in fattori la seguente somma di cubi:

0,008+a^3

Grazie mille.
 
 

Esercizio: scomporre una somma di cubi con numero decimale #32487

avt
Volpi
Frattale
Prima di scomporre il polinomio

0,008+a^3=(\bullet)

conviene trasformare il numero decimale 0,008 nella sua frazione generatrice, ossia quella frazione che ha al numeratore il numero senza la virgola e per denominatore un 1 seguito da tanti zeri quanti sono le cifre che compongono la parte decimale:

0,008=\frac{8}{1000}=\frac{1}{125}

dove nell'ultimo passaggio, abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 8.

Alla luce di quanto fatto, il binomio 0,008+a^3 diventa:

(\bullet)=\frac{1}{125}+a^3

il quale non è altro che la somma di due cubi, pertanto possiamo fare affidamento sul prodotto notevole:

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

Esso permette di esprimere la somma di due cubi mediante il prodotto tra la somma delle loro basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, il prodotto tra la prima base e la seconda cambiato di segno e il quadrato della seconda base.

Esaminiamo un momento il binomio

\frac{1}{125}+a^3

e estrapoliamo le basi dei due cubi:

- la base di a^3 è chiaramente a;

- la base di \frac{1}{125} è \frac{1}{5}, grazie alle proprietà delle potenze, siamo autorizzati a scrivere le seguenti uguaglianze:

\left(\frac{1}{5}\right)^{3} = \frac{1^3}{5^3}=\frac{1}{125}

Siamo in dirittura di arrivo, possiamo finalmente scomporre il binomio usando il prodotto notevole, grazie al quale otteniamo:

\\ \frac{1}{125}+a^3=\left(\frac{1}{5}\right)^3+a^3=\left(\frac{1}{5}+a\right)\left(\left(\frac{1}{5}\right)^2-\frac{1}{5}\cdot a+a^2\right)= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{5}+a\right)\left(\frac{1}{25}-\frac{a}{5}+a^2\right)

Poiché

\frac{1}{25}-\frac{a}{5}+a^2

è un falso quadrato irriducibile, possiamo mettere finalmente un punto all'esercizio.
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os