Potenza di potenza di un binomio

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Potenza di potenza di un binomio #32388

avt
Bradipo
Punto
Mi servirebbe una mano per semplificare un'espressione algebrica. Dal mio punto di vista, si dovrebbe usare la regola relativa a una potenza di una potenza e sfruttare in un secondo momento il triangolo di Tartaglia per sviluppare la potenza di binomio che ne risulta.

Semplificare la seguente espressione algebrica:

[(2x+1)^2]^{2}

Grazie mille.
 
 

Potenza di potenza di un binomio #32390

avt
Omega
Amministratore
Per semplificare l'espressione algebrica

[(2x+1)^2]^{2}=

sfruttiamo prima di tutto la regola sulla potenza di una potenza così da ricondurci alla potenza quarta del binomio 2x+1

=(2x+1)^{2\cdot 2}=(2x+1)^{4}

La strategia migliore per calcolare la potenza di binomio consiste nel determinare lo sviluppo di (A+B)^{4}, usando come si deve il triangolo di Tartaglia e sostituire in seguito A con 2x e B con 1.

Dopo questo breve preambolo teorico, determiniamo i coefficienti dello sviluppo di (A+B)^{4}: sono essenzialmente i numeri che compongono la quinta riga del triangolo di Tartaglia!

\begin{array}{c|ccccccccc}n=0&&&&&1&&&&\\n=1&&&&1&&1&&&\\ n=2&&&1&&2&&1&&\\ n=3&&1&&3&&3&&1&\\ n=4&1&&4&&6&&4&&1\end{array}

I coefficienti dello sviluppo sono pertanto

1 \ \ \ 4 \ \ \ 6 \ \ \ 4 \ \ \ 1

Ricordiamo che i termini dello sviluppo (A+B)^{4} hanno per parte letterale il prodotto tra una potenza di A e una potenza di B, ossia sono della forma A^{n}B^{m}. Per attribuire correttamente gli esponenti alle lettere, bisogna attenersi alle seguenti regole.

Lo sviluppo di (A+B)^{4} dev'essere:

- un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di A e secondo le potenze crescenti di B;

- un polinomio omogeneo di quarto grado, di conseguenza ogni monomio che lo compone è di grado 4.

In termini più espliciti, gli esponenti della lettera A vanno da 4 a 0 decrescendo, mentre gli esponenti di B vanno da 0 a 4 crescendo, inoltre la somma tra gli esponenti della parte letterale deve essere necessariamente uguale a 4.

Queste informazioni consentono di scrivere lo sviluppo associato a (A+B)^{4} che è:

\\ (A+B)^{4}= \\ \\ =1\cdot A^{4}B^{0}+4\cdot A^{3}B^{1}+6\cdot A^{2}B^{2}+4\cdot A^{1}B^{3}+1\cdot A^{0}B^{4}= \\ \\ =A^{4}+4A^{3}B+6A^{2}B^{2}+4AB^3+B^{4}

Noto lo sviluppo di (A+B)^4, possiamo calcolare quello di (2x+1)^{4} usando le sostituzioni

A=2x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=1

grazie alle quali possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

\\ (2x+1)^4=\\ \\ = (2x)^4+4(2x)^3\cdot 1+6(2x)^2\cdot 1^{2}+4(2x)\cdot 1^3+1^4=

A questo punto calcoliamo le potenze dei monomi

=16x^4+4\cdot 8x^3+6\cdot 4x^2+8x+1=

e svolgiamo gli ultimi conti rimasti

=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1

Abbiamo finito!

Osservazione. Avremmo potuto svolgere l'esercizio in maniera differente: avremmo potuto calcolare il quadrato di binomio (2x+1)^2 ed elevare al quadrato il trinomio risultante con la regola sul quadrato di un trinomio.
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