Sistema misto di tre equazioni in tre incognite

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Sistema misto di tre equazioni in tre incognite #32334

avt
matteo
Sfera
Mi servirebbe una mano per risolvere un sistema in tre equazioni e in tre incognite formato da due equazioni esponenziali e un'equazione polinomiale omogenea di secondo grado. Suppongo che si debba usare la legge di annullamento del prodotto, oltre alle varie proprietà delle potenze per semplificare le espressioni che compaiono: in effetti, sono proprio i calcoli che vanno oltre le mie possibilità.

Determinare tutte le triple (x,y,z) che soddisfano il sistema

\begin{cases}\dfrac{\sqrt{e^{x}}\cdot\sqrt[3]{e^{z}}}{e^{y}}=e^{xyz}\\ \\ z (8^{x-1}-4^z)=0 \\ \\ zy=0\end{cases}

Grazie.
 
 

Sistema misto di tre equazioni in tre incognite #32340

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nel risolvere il sistema in tre equazioni e in tre incognite:

\begin{cases}\dfrac{\sqrt{e^{x}}\cdot\sqrt[3]{e^{z}}}{e^{y}}=e^{xyz}\\ \\ z (8^{x-1}-4^z)=0 \\ \\ zy=0\end{cases}

ma prima di procedere, è opportuno effettuare alcune considerazioni sull'insieme di esistenza delle soluzioni. Sebbene siano presenti la radice quadrata e una frazione al primo membro della prima equazione, non è necessario imporre alcuna condizione di esistenza, o meglio, i vincoli che imposteremmo sarebbero comunque soddisfatti per via della positività della funzione esponenziale.

Cerchiamo di essere più espliciti: il termine \sqrt{e^{x}} è ben definito nel momento in cui e^{x}\ge 0 ma questo è vero per ogni numero reale x. Per quanto concerne l'esistenza della frazione, dovremmo richiedere che e^{z} sia non nullo: anche in questo caso, e^{z}\ne 0 è vera per ogni z reale!

Alla luce di queste considerazioni, il sistema è ben posto per ogni x, \ y \ \mbox{e} \ z, pertanto possiamo tranquillamente procedere con le manipolazioni algebriche per esprimere le equazioni nella forma più semplice possibile.

Per prima cosa, sfruttiamo la definizione di potenza con esponente fratto che ci permette di scrivere le radici \sqrt{e^{x}}\ \mbox{e} \ \sqrt[3]{e^{z}} come segue:

\\ \sqrt{e^{x}}=(e^{x})^{\tfrac{1}{2}}=e^{\tfrac{1}{2}x} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ \sqrt[3]{e^{z}}=(e^{z})^{\tfrac{1}{3}}=e^{\tfrac{1}{3}z}

Le proprietà delle potenze, inoltre, permettono di rielaborare il termine \frac{\sqrt{e^{x}}\cdot\sqrt[3]{e^{z}}}{e^{y}}:

\frac{\sqrt{e^{x}}\cdot\sqrt[3]{e^{z}}}{e^{y}}=\frac{e^{\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{3}z}}{e^{y}}=e^{\tfrac{1}{2}x-y+\tfrac{1}{2}z}

pertanto siamo autorizzati a riscrivere il sistema nella forma:

\begin{cases}e^{\tfrac{1}{2}x-y+\tfrac{1}{3}z}=e^{xyz}\\ \\ z (8^{x-1}-4^z)=0 \\ \\ zy=0\end{cases}

Nella prima relazione, le funzioni esponenziali hanno la stessa base e coincidono se e solo se l'esponente della prima è uguale all'esponente della seconda:

\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-y+\dfrac{1}{3}z=xyz\\ \\ z (8^{x-1}-4^z)=0 \\ \\ zy=0\end{cases}

Usando la legge di annullamento del prodotto, inoltre, scopriamo che l'equazione zy=0 è soddisfatta nel momento in cui almeno uno dei fattori al primo membro è nullo:

zy=0 \ \ \ \to \ \ \ z=0 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ y=0

Si prospettano pertanto due casistiche che analizzeremo singolarmente.

Se z=0, l'equazione

\frac{1}{2}x-y+\frac{1}{3}z=x y z

diventa

\frac{1}{2}x-y=0

ed è utile per esprimere un'incognita in termini dell'altra. Scegliendo ad esempio x, ricaviamo:

x=2y \ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}

La seconda equazione del sistema, ossia

z(8^{x-1}-4^{z})=0

si tramuta nell'identità 0=0, per cui non fornisce alcuna informazione utile per ricavare le soluzioni del sistema.

Sotto il vincolo z=0, le triple che soddisfano il sistema sono:

(x,y,z)=(2y,y,0)\ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R}

Occupiamoci del caso y=0. In questa circostanza, l'equazione

\frac{1}{2}x-y+\frac{1}{3}z=xyz

si tramuta in

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}z=0

mentre la seconda equazione rimane tale e quale non dipende da y. Sotto il vincolo y=0, il sistema si riscrive come:

\begin{cases}\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}z= 0 \\ \\ z(8^{x-1}-4^{z})=0\end{cases}

A questo punto, usiamo l'equazione lineare per esprimere x in termini di z

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}z=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{2}{3}z

e sostituiamo l'espressione nell'equazione

z(8^{x-1}-4^{z})=0

che si tramuta nella seguente:

z\left(8^{-\tfrac{2}{3}z-1}-4^{z}\right)=0

Per ricavare le soluzioni, usiamo la legge di annullamento del prodotto che consente di spezzare l'equazione nelle seguenti:

z=0 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ 8^{-\tfrac{2}{3}z-1}-4^{z}=0

Si generano due sottocasi di y=0 che vanno analizzati singolarmente. Se z=0, l'uguaglianza x=-\frac{2}{3}z consente di calcolare il valore di x associato:

x=-\frac{2}{3}z \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{2}{3}\cdot 0=0

per cui (x,y,z)=(0,0,0) è un'altra tripla che soddisfa il sistema iniziale. Si noti che questa soluzione è una tripla della forma (2y,y,0) - basta prendere y=0.

Occupiamoci della relazione

8^{-\tfrac{2}{3}z-1}-4^{z}=0

Essa è un'equazione esponenziale nell'incognita z che si risolve esprimendo i termini esponenziali in base 2

(2^3)^{-\tfrac{2}{3}z-1}-(2^{2})^{z}=0

da cui, per la regola sulla potenza di una potenza, otteniamo

2^{-2z-3}-2^{2z}=0 \ \ \ \to \ \ \ 2^{-2z-3}=2^{2z}

Uguagliando gli esponenti ci riconduciamo alla seguente equazione di primo grado dalla quale otterremo z

-2z-3=2z \ \ \ \to \ \ \ 4z=-3 \ \ \ \to \ \ \ z=-\frac{3}{4}

Con il valore ottenuto e grazie alla relazione x=-\frac{2}{3}z riusciamo a calcolare l'x corrispondente:

x=-\frac{2}{3}z\ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}

pertanto x=\frac{1}{2}, \ y=0 \ \mbox{e} \ z=-\frac{3}{4} formano la tripla soluzione

(x,y,z)=\left(\frac{1}{2}, 0, -\frac{3}{4}\right)

Possiamo concludere che il sistema

\begin{cases}\dfrac{\sqrt{e^{x}}\cdot\sqrt[3]{e^{z}}}{e^{y}}=e^{xyz}\\ \\ z (8^{x-1}-4^z)=0 \\ \\ zy=0\end{cases}

è soddisfatto dalle seguenti triple

\\ (x,y,z)=\left(2y,y,0\right) \ \ \ \mbox{per ogni} \ y\in\mathbb{R} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ (x,y,z)=\left(\frac{1}{2}, 0 , -\frac{3}{4}\right)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, matteo
  • Pagina:
  • 1
Os