Sistema misto di tre equazioni in tre incognite
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Sistema misto di tre equazioni in tre incognite #32334
![]() matteo Sfera | Mi servirebbe una mano per risolvere un sistema in tre equazioni e in tre incognite formato da due equazioni esponenziali e un'equazione polinomiale omogenea di secondo grado. Suppongo che si debba usare la legge di annullamento del prodotto, oltre alle varie proprietà delle potenze per semplificare le espressioni che compaiono: in effetti, sono proprio i calcoli che vanno oltre le mie possibilità. Determinare tutte le triple ![]() Grazie. |
Sistema misto di tre equazioni in tre incognite #32340
![]() Ifrit Amministratore | Il nostro compito consiste nel risolvere il sistema in tre equazioni e in tre incognite: ![]() ma prima di procedere, è opportuno effettuare alcune considerazioni sull'insieme di esistenza delle soluzioni. Sebbene siano presenti la radice quadrata e una frazione al primo membro della prima equazione, non è necessario imporre alcuna condizione di esistenza, o meglio, i vincoli che imposteremmo sarebbero comunque soddisfatti per via della positività della funzione esponenziale. Cerchiamo di essere più espliciti: il termine Alla luce di queste considerazioni, il sistema è ben posto per ogni Per prima cosa, sfruttiamo la definizione di potenza con esponente fratto che ci permette di scrivere le radici ![]() Le proprietà delle potenze, inoltre, permettono di rielaborare il termine ![]() ![]() pertanto siamo autorizzati a riscrivere il sistema nella forma: ![]() Nella prima relazione, le funzioni esponenziali hanno la stessa base e coincidono se e solo se l'esponente della prima è uguale all'esponente della seconda: ![]() Usando la legge di annullamento del prodotto, inoltre, scopriamo che l'equazione ![]() Si prospettano pertanto due casistiche che analizzeremo singolarmente. Se ![]() diventa ![]() ed è utile per esprimere un'incognita in termini dell'altra. Scegliendo ad esempio La seconda equazione del sistema, ossia ![]() si tramuta nell'identità Sotto il vincolo ![]() Occupiamoci del caso ![]() si tramuta in ![]() mentre la seconda equazione rimane tale e quale non dipende da ![]() A questo punto, usiamo l'equazione lineare per esprimere ![]() e sostituiamo l'espressione nell'equazione ![]() che si tramuta nella seguente: ![]() Per ricavare le soluzioni, usiamo la legge di annullamento del prodotto che consente di spezzare l'equazione nelle seguenti: ![]() Si generano due sottocasi di ![]() ![]() per cui Occupiamoci della relazione ![]() Essa è un'equazione esponenziale nell'incognita ![]() da cui, per la regola sulla potenza di una potenza, otteniamo ![]() Uguagliando gli esponenti ci riconduciamo alla seguente equazione di primo grado dalla quale otterremo ![]() Con il valore ottenuto e grazie alla relazione ![]() ![]() pertanto ![]() ![]() Possiamo concludere che il sistema ![]() è soddisfatto dalle seguenti triple ![]() Abbiamo terminato. |
Ringraziano: Omega, matteo |
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