Sviluppare la potenza quarta di un binomio

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Sviluppare la potenza quarta di un binomio #32298

avt
Luke
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare la potenza di un binomio, avvalendomi del triangolo di Tartaglia. Pensavo di aver capito come funziona, però il mio risultato è completamente diverso da quello del libro.

Usare il triangolo di Tartaglia per determinare lo sviluppo della seguente potenza di binomio:

(a+3b)^4

Grazie.
 
 

Sviluppare la potenza quarta di un binomio #32301

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nell'usare il triangolo di Tartaglia per calcolare la potenza di binomio

(a+3b)^4

Per non commettere errori di segno o di calcoli, procediamo in questo modo: calcoliamo la potenza quarta del generico binomio A+B dopodiché operiamo una specifica sostituzione.

Il calcolo di (A+B)^4 richiede la quinta riga del triangolo di Tartaglia, costituita dai coefficienti necessari per lo sviluppo.

\begin{array}{l|rrrrrrrrrr}n=0&&&&&1&&&&\\n=1 &&&&1&&1&&&\\n=2&&&1&&2&&1&&\\ n=3&&1&&3&&3&&1& \\n=4&1&&4&&6&&4&&1&\end{array}

Ricaviamo che i coefficienti dello sviluppo, ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera A sono:

1 \ \ \ 4 \ \ \ 6 \ \ \ 4 \ \ \ 1

di conseguenza:

\\ (A+B)^4=1\cdot A^4 B^0+4\cdot A^{3}B^{1}+6\cdot A^{2}B^{2}+4\cdot A^{1}B^{3}+1\cdot A^{0}B^{4}= \\ \\ = A^4+4 A^3 B+6A^2B^2+ 4AB^3+B^4

Si noti che gli esponenti delle lettere A\ \mbox{e} \ B seguono delle regole precise:

- gli esponenti di A vanno da quattro a zero, decrescendo di uno a ogni termine;

- gli esponenti di B vanno da zero a quattro, crescendo di uno a ogni termine.

Noto lo sviluppo generico della potenza quarta di un binomio, siamo in grado di calcolare quello di (a+3b)^4: è sufficiente operare le sostituzioni

A=a \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=3b

e svolgere i calcoli. In altri termini sostituiamo A con a e B con 3b nella relazione

(A+B)^4= A^4+4 A^3 B+6A^2B^2+ 4AB^3+B^4

così che diventi:

(a+3b)^4=a^4+4a^3\cdot (3b)+6a^2\cdot (3b)^2+4a\cdot (3b)^3+(3b)^4=

Da qui in poi sono semplici calcoli da portare a termine con le proprietà delle potenze

\\ =a^4+12a^3b+6a^2\cdot 9b^2+4a\cdot 27b^3+81b^4= \\ \\ =a^4+12a^3b+54a^2b^2+108ab^3+81b^4

Ecco fatto!
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Os