Somma di cubi con esponenti letterali

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Somma di cubi con esponenti letterali #32272

avt
Francy91
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle scomposizioni in cui mi viene chiesto di fattorizzare un binomio a esponenti letterali con la regola sulla somma di cubi. Sebbene conosca a menadito i prodotti notevoli, non riesco a gestire come si devono le lettere agli esponenti.

Usare la regola di scomposizione per la somma di cubi per fattorizzare il seguente binomio a esponenti letterali:

x^{3m}+y^{6m}

Grazie mille.
 
 

Somma di cubi con esponenti letterali #32331

avt
nando
Frattale
Proponiamoci l'obiettivo di scomporre il polinomio

x^{3m}+y^{6m}

come prodotto di fattori irriducibili. Per raggiungerlo useremo il prodotto notevole

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

che consente di esprimere la somma di due cubi come il prodotto tra la somma delle loro basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, dal prodotto delle basi cambiate di segno e dal quadrato della seconda base.

Esaminiamo quindi il binomio dato: esso è effettivamente la somma di due termini, vale a dire x^{3m} \ \mbox{e}\ y^{6m}, che grazie alle proprietà delle potenze - e in particolare la regola relativa alla potenza di una potenza - diventano:

\\ x^{3m}=x^{3\cdot m}=(x^{m})^{3} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ y^{6m}=y^{3\cdot 2m}=(y^{2m})^{3}

Deduciamo pertanto che il binomio dato non è altro che la somma di due cubi con basi x^{m}\ \mbox{e} \ y^{2m} rispettivamente.

Note le basi, possiamo tranquillamente usare il prodotto notevole e scrivere la scomposizione richiesta.

\\ x^{3m}+y^{6m}=(x^{m}+y^{2m})\left((x^{m})^2-x^{m}y^{2m}+(y^{2m})^2\right)= \\ \\ =(x^{m}+y^{2m})\left(x^{2\cdot m}-x^{m}y^{2m}+y^{2\cdot 2m}\right)= (x^{m}+y^{2m})\left(x^{2m}-x^{m}y^{2m}+y^{4m}\right)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os