Scomporre una somma di cubi con cubo di un binomio

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Scomporre una somma di cubi con cubo di un binomio #32074

avt
Francy91
Cerchio
Dovrei usare la regola sulla somma di due cubi per scomporre un polinomio. Conosco il prodotto notevole e ho già fatto esercizi sull'argomento, ma questo qui proprio non mi riesce.

Usare la tecnica di scomposizione sulla somma di cubi per fattorizzare il seguente polinomio:

(x-2)^3+x^3

Grazie mille.
 
 

Scomporre una somma di cubi con cubo di un binomio #32090

avt
Volpi
Frattale
L'esercizio ci chiede di scomporre il polinomio

(x-2)^{3}+x^{3}

fornendoci anche la strategia da seguire: ci intima di usare la regola sulla somma di due cubi, vale a dire

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

Esso è un prodotto notevole che trasforma la somma di due cubi nel prodotto tra la somma delle loro basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, il quadrato della seconda e il prodotto tra la prima e la seconda base cambiato di segno.

Per poterlo usare, bisogna capire chi sono le basi dei due cubi: in questa circostanza è più che evidente quali possano essere.

Il binomio x-2 è la base del primo cubo, ossia di (x-2)^2, mentre x è la base del secondo, vale a dire x^3, pertanto, posti:

A=x-2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=x

la regola sulla somma di cubi diventa

\overbrace{(x-2)^3+x^3}^{A^3+B^3}=\overbrace{\left((x-2)+x\right)}^{A+B}\overbrace{\left((x-2)^2-(x-2)x+x^2\right)}^{A^2-AB+B^2}=

Da qui in poi è solo una mera questione di calcoli: bisogna semplicemente sommare i monomi simili nella prima coppia di parentesi tonde, sviluppare il quadrato di binomio (x-2)^2 ed eseguire il prodotto tra i polinomi x-2\ \mbox{e} \ x:

\\ =\left(2x-2\right)\left(x^2-4x+4-x^2+2x+x^2\right)= \\ \\ =2(x-1)(x^2-2x+4)

Osservazione: x^2-2x+4 è un falso quadrato e in quanto tale irriducibile.

In conclusione, la scomposizione richiesta è:

(x-2)^3+x^3=2(x-1)(x^2-2x+4)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Francy91
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Os