Somma di cubi con monomio misto

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Somma di cubi con monomio misto #31986

avt
Francy91
Cerchio
Devo scomporre un polinomio usufruendo della regola relativa alla somma di cubi, però non riesco ad ottenere il risultato del libro.

Scomporre in fattori irriducibili il polinomio

-a^3b^3-27
 
 

Somma di cubi con monomio misto #32002

avt
Volpi
Frattale
Per scomporre il polinomio

-a^3b^3-27

dobbiamo avvalerci della regola sulla somma di cubi

A^3+B^3=(A+B)(A^2+AB+B^2)

dove A\ \mbox{e} \ B indicano le basi dei due cubi.

Prima di utilizzare l'identità, dobbiamo però mettere in evidenza il segno

-a^3b^3-27=-(a^3b^3+27)=

e sfruttare le proprietà delle potenze grazie alle quali otteniamo

=-((ab)^3+3^3)=

Procedendo in questo modo, è chiaro quali sono le basi: A=ab è la base del primo cubo, B=3 è invece la base del secondo cubo. In forza della relazione sulla somma di cubi ricaviamo la scomposizione richiesta

=-(ab+3)((ab)^2-3\cdot ab+3^2)=-(ab+3)(a^2b^2-3ab+9)

Osserviamo che il fattore

a^2b^2-3ab+9

è un falso quadrato e dunque irriducibile.
Ringraziano: Omega, Francy91
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Os