Problemi con le disequazioni logaritmiche

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Problemi con le disequazioni logaritmiche #31985

avt
dianita
Banned
Ho due esercizi sulle disequazioni logaritmiche che non riesco a fare. Sebbene abbia applicato le proprietà dei logaritmi non ottengo i risultati richiesti.

Risolvere le seguenti disequazioni logaritmiche

\\ (a) \ \ \ 2-\log_{\tfrac{1}{3}}^{2}(x)>\log_{\tfrac{1}{3}}(x) \\ \\ (b) \ \ \ \log_{25}(x)-\log_{5}(\sqrt{x})<5

Grazie mille.
 
 

Problemi con le disequazioni logaritmiche #32034

avt
Omega
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere le due disequazioni logaritmiche:

\\ (a) \ \ \ 2-\log_{\frac{1}{3}}^2(x)>\log_{\frac{1}{3}}(x)\\ \\ (b) \ \ \ \log_{25}(x)-\log_{5}(\sqrt{x})<5

Senza ulteriori indugi, iniziamo a risolvere la prima.


(a) Disequazione logaritmica per sostituzione

Consideriamo la relazione

2-\log_{\frac{1}{3}}^2(x)>\log_{\frac{1}{3}}(x)

Essa è chiaramente una disequazione logaritmica che possiamo risolvere operando la sostituzione t=\log_{\frac{1}{3}}(x), mediante la quale la relazione precedente diventa

2-t^2>t \ \ \ \to \ \ \ t^2+t-2<0

Ci siamo ricondotti alla disequazione di secondo grado con coefficienti

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \ ,\ \ \ c=-2

la cui equazione associata è

t^2+t-2=0

Determiniamo le soluzioni dell'equazione con la formula del discriminante

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{-1\pm 3}{2}=\begin{cases}\frac{-1-3}{2}=-\frac{4}{2}=-2=t_1\\ \\ \frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1=t_2\end{cases}

In accordo con la teoria, la disequazione

t^2+t-2<0

è soddisfatta nel momento in cui l'incognita t è compresa tra t_1=-2 \ \mbox{e} \ t_2=1, vale a dire:

-2<t<1

Ripristiniamo l'incognita x: poiché avevamo posto t=\log_{\frac{1}{3}}(x), la doppia disequazione si tramuta in

-2<\log_{\frac{1}{3}}(x)<1

Essa ha lo stesso insieme soluzione del sistema di disequazioni logaritmiche:

\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}(x)>-2\\ \log_{\frac{1}{3}}(x)<1\end{cases}

Risolviamole separatamente determinando l'insieme delle soluzioni di ciascuna.

\log_{\frac{1}{3}}(x)>-2

Prima di tutto imponiamo la condizione di esistenza, ricordando che il logaritmo è ben definito nel momento in cui il suo argomento è positivo, per cui:

C.E. \ : \ x>0

In secondo luogo, sbarazziamoci del logaritmo in base \frac{1}{3} applicando ai due membri della disequazione la funzione esponenziale con base \frac{1}{3}, stando attenti al fatto che questo operazione inverte il verso (perché il logaritmo ha base minore di 1)

\log_{\frac{1}{3}}(x)>-2 \ \ \ \to \ \ \ x<\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}

Sfruttiamo la definizione di potenza con esponente negativo per esprimere meglio il risultato

x<3^{2} \ \ \ \to \ \ \ x<9

Attenzione! Non dobbiamo dimenticare la condizione di esistenza x>0 che intersecata con la relazione precedente consente di scrivere la soluzione (parziale)

\log_{\frac{1}{3}}(x)>-2 \ \ \ \to \ \ \ 0<x<9

Occupiamoci della disequazione

\log_{\frac{1}{3}}(x)<1

che si risolve esattamente come la precedente: imponiamo la condizione di esistenza del logaritmo richiedendo che x sia maggiore di zero

C.E. \ :\  x>0

dopodiché applichiamo ai due membri della disequazione la funzione esponenziale con base \frac{1}{3} ricordandoci di cambiare il verso

\log_{\frac{1}{3}}(x)>1 \ \ \ \to \ \ \ x>\frac{1}{3}

Mettendo assieme le condizioni x>\frac{1}{3} e x>0 ricaviamo il secondo insieme soluzione (parziale)

x>\frac{1}{3}

Ritorniamo al sistema

\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}(x)>-2\\ \log_{\frac{1}{3}}(x)<1\end{cases}

e sostituiamo le disequazioni con i rispettivi insiemi soluzione

\begin{cases}0<x<9 \\ x>\frac{1}{3}\end{cases}

Aiutandoci eventualmente con la tabella, scopriamo che l'insieme soluzione del sistema (e quindi della disequazione di partenza) è:

S \ : \ \frac{1}{3}<x<9


Disequazione con logaritmi in basi diverse

Consideriamo la disequazione

\log_{25}(x)-\log_{5}(\sqrt{x})<5

Per prima cosa imponiamo la condizione di esistenza richiedendo che i vari logaritmi abbiano argomenti positivi

C.E. \ : \ x>0 \ \ \ \wedge \ \ \ \sqrt{x}>0

Esaminando i due vincoli, ci accorgiamo che sono perfettamente equivalenti, infatti la radice quadrata è positiva se e solo se il radicando è positivo, ossia:

\sqrt{x}>0 \ \iff \ x>0

per cui la condizione di esistenza si semplifica in:

C.E. \ : \ x>0

Proprio perché i logaritmi della disequazione hanno basi differenti, il primo passo risolutivo consiste nell'applicare la formula del cambiamento di base

\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

dove a\ \mbox{e} \ c sono numeri positivi e diversi da 1, mentre b dev'essere positivo.

Scegliamo di scrivere \log_{25}(x) in base 5

\log_{25}(x)=\frac{\log_{5}(x)}{\log_{5}(25)}=

Si osservi che 25 è il quadrato di 5 per cui la precedente espressione diventa

\\ =\frac{\log_{5}(x)}{\log_{5}(5^2)}= \\ \\ \\ =\frac{\log_{5}(x)}{2}

Osserviamo che nell'ultimo passaggio è intervenuta la definizione stessa di logaritmo.

L'uguaglianza appena scritta consente di riscrivere la disequazione

\log_{25}(x)-\log_{5}(\sqrt{x})<5

nella forma

\frac{1}{2}\log_{5}(x)-\log_{5}(\sqrt{x})<5

Continuiamo la nostra opera di semplificazione rielaborando la radice quadrata come una potenza con esponente fratto

\frac{1}{2}\log_{5}(x)-\log_{5}(x^{\frac{1}{2}})<5

A questo punto sfruttiamo la proprietà del logaritmo di una potenza che consente di anteporre \frac{1}{2} al logaritmo

\frac{1}{2}\log_{5}(x)-\frac{1}{2}\log_{5}(x)<5

Cancelliamo gli opposti e scriviamo la disuguaglianza

0<5

che è vera, a patto che venga soddisfatta la condizione di esistenza, ossia se x>0.

In definitiva l'insieme soluzione della disequazione è:

S \ : \ x>0
Ringraziano: Danni
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Os