Test su equazioni esponenziali

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Test su equazioni esponenziali #31972

avt
drago95
Cerchio
Dovrei risolvere un test a risposta multipla sulle equazioni esponenziali, di cui purtroppo non conosco le risposte esatte. Potreste aiutarmi per favore?

1) Quale fra le seguenti non è una equazione esponenziale?

(a) \ \ \ 3^{x-1}+3=3^{2x}\\ \\ (b) \ \ \ 2^2+3^x-1=0 \\ \\ (c) \ \ \ ex+3^2=2e \\ \\ (d) \ \ \ 5^{x+1}+5=2\\ \\ (e) \ \ \ 2+3^y=3^{2y}-1


2) Fra le seguenti equazioni esponenziali, una sola può essere risolta senza ricorrere all'uso dei logaritmi. Quale?

\\ (a) \ \ \ 7^{x+1}=5^{x} \\ \\ (b) \ \ \ 3^{x-1}=6^{2x}\\ \\ (c) \ \ \ 2^{3x-1}=5^{x}\\ \\ (d) \ \ \ 2^{x-1}=4^{x+3}\\ \\ (e) \ \ \ 2^{2x+2}=6^{1-x}


3) L'equazione 3^{-x^2+3x}=-3^{-2x^2+x}:

(a) ha due soluzioni x=0\ \mbox{e} \ x=-2;

(b) ha una soluzione x=0;

(c) ha due soluzioni x=0\ \mbox{e} \ x=\frac{4}{3}.

(d) non ha soluzione.

(e) è equivalente a -x^2+3x=\frac{1}{2x^2+x}


4) Sull'equazione (a-2)^{x}=3 puoi affermare che:

(a) per ogni a>2\ \wedge \ a\ne 3,\ x=\log_{a-2}(3);

(b) è impossibile;

(c) ammette una soluzione se a=2;

(d) ammette soluzioni se e solo se a\ne 3;

(e) ammette una soluzione se a>3.

Vi ringrazio.
 
 

Test su equazioni esponenziali #31976

avt
Ifrit
Ambasciatore
Esaminiamo singolarmente le domande del test sulle equazioni esponenziali.

1) Quale fra le seguenti non è una equazione esponenziale?

(a) \ \ \ 3^{x-1}+3=3^{2x}\\ \\ (b) \ \ \ 2^2+3^x-1=0 \\ \\ (c) \ \ \ ex+3^2=2e \\ \\ (d) \ \ \ 5^{x+1}+5=2\\ \\ (e) \ \ \ 2+3^y=3^{2y}-1

Per rispondere alla domanda, dobbiamo necessariamente conoscere la definizione di equazione esponenziale: è un'equazione in cui l'incognita almeno una volta all'esponente.

Tra le opzioni, l'unica equazione in cui x non si presenta all'esponente è

(c) \ \ \ ex+3^9=2e

che a conti fatti è un'equazione di primo grado in x.


2) Fra le seguenti equazioni esponenziali, una sola può essere risolta senza ricorrere all'uso dei logaritmi. Quale?

\\ (a) \ \ \ 7^{x+1}=5^{x} \\ \\ (b) \ \ \ 3^{x-1}=6^{2x}\\ \\ (c) \ \ \ 2^{3x-1}=5^{x}\\ \\ (d) \ \ \ 2^{x-1}=4^{x+3}\\ \\ (e) \ \ \ 2^{2x+2}=6^{1-x}

Le equazioni (a), (b), (c) \ \mbox{ed}\ (e) risolvono usando i logaritmi perché siamo in presenza di uguaglianze tra esponenziali con basi diverse e che non sono l'uno una potenza dell'altra.

Nel caso (d), invece, le basi delle funzioni esponenziali che figurano in

2^{x-1}=4^{x+3}

sono 2 \ \mbox{e} \ 4: la seconda è una potenza della prima.

In questa circostanza, possiamo tranquillamente rivedere 4 come 2^2

2^{x-1}=(2^2)^{x+3}

e sfruttare le proprietà delle potenze cosicché l'equazione diventi

2^{x-1}=2^{2(x+3)} \ \ \ \to \ \ \ 2^{x-1}=2^{2x+6}

Poiché due esponenziali con la stessa base sono uguali se e solo se coincidono i loro esponenti, allora la relazione è equivalente all'equazione di primo grado

x-1=2x+6 \ \ \ \to \ \ \ x=-7

Si noti che nello svolgimento non abbiamo usato il logaritmo.


3) L'equazione 3^{-x^2+3x} = -3^{-2x^2+x}:

(a) ha due soluzioni x=0\ \mbox{e} \ x=-2;

(b) ha una soluzione x=0;

(c) ha due soluzioni x=0\ \mbox{e} \ x=\frac{4}{3}.

(d) non ha soluzione.

(e) è equivalente a -x^2+3x=\frac{1}{2x^2+x}

3^{-x^2+3x} = -3^{-2x^2+x} è chiaramente un'equazione impossibile. Osserviamo infatti che:

- il primo membro, 3^{-x^2+3x}, è certamente positivo, perché in generale ogni funzione esponenziale è sempre positiva;

- il secondo membro, -3^{-2x^2+x}, è negativo perché opposto di una funzione esponenziale.

Queste considerazioni ci permettono di concludere che l'equazione è impossibile perché i due membri sono discordi per ogni x\in\mathbb{R}, per cui non esiste alcun valore reale per cui si possa verificare l'uguaglianza.

La risposta esatta è (d): l'equazione non ammette soluzioni.


4) Sull'equazione (a-2)^{x}=3 puoi affermare che:

(a) per ogni a>2\ \wedge \ a\ne 3,\ x=\log_{a-2}(3);

(b) è impossibile;

(c) ammette una soluzione se a=2;

(d) ammette soluzioni se e solo se a\ne 3;

(e) ammette una soluzione se a>3.

Risolviamo esplicitamente l'equazione esponenziale parametrica in a

(a-2)^{x}=3

imponendo prima di tutto le condizioni di esistenza su a.

L'equazione è ben definita nel momento in cui la base di (a-2)^{x} è positiva e diversa da 1

\begin{cases}a-2>0  \ \ \ \to \ \ \ a>2\\ a-2\ne 1\ \ \ \to \ \ \ a\ne 3\end{cases}

pertanto la buona posizione della relazione è garantita nel momento in cui il parametro a sottostà ai seguenti vincoli:

a>2\ \ \ \wedge \ \ \ a\ne 3

Dopo aver esplicitato l'insieme dei valori di a per cui l'equazione ha senso, possiamo applicare il logaritmo in base a-2 ai due membri di:

(a-2)^{x}=3

ottenendo:

\log_{a-2}[(a-2)^{x}]=\log_{a-2}(3)

da cui

x=\log_{a-2}(3) \ \ \ \mbox{per ogni} \ a>2 \ \wedge \ a\ne 3.

Possiamo concludere che la risposta corretta è la (a).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni, drago95

Test su equazioni esponenziali #32106

avt
drago95
Cerchio
Ci sono, grazie mille!
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Os