Test su equazioni e disequazioni logaritmiche

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Test su equazioni e disequazioni logaritmiche #31916

avt
drago95
Cerchio
Ho dei test sulle equazioni e disequazioni logaritmiche.
Alcuni sono da controllare se sono giusti oppure no, altri non li ho proprio capiti come fare. Eccolo:

1) L'equazione

\log(x)-\log (x-1)=\log(3)

A. ammette una soluzione reale maggiore di 2.

B. ammette due soluzioni reali distinte.

C. ammette una soluzione reale maggiore di 1.

D. ammette una soluzione reale minore di 1.

E. è impossibile.


2) L'equazione

\log_{x}(4)+\log_{4}(x)=-2

è:

A. verificata per x=1;

B. impossibile;

C. verificata per x=4;

D. verificata per x=-4;

E. verificata per x=\frac{1}{4}.


3) Il grafico di

y=\log(x+9)

incontra la retta di equazione y=1 nel punto di coordinate:

A. (1;0).

B. (1;1).

C. (-8;0).

D. (-1;1).

E. (-1;0).


4) Il campo di esistenza della funzione

y=\log_{2}(\log_{\frac{1}{2}}(x))

è:

A. [0;1].

B. ]0; +\infty[.

C. ]1; +\infty[.

D. ]-\infty;0[.

E. ]0;1[.


5) Quale fra le seguenti disequazioni ammette come soluzioni x>0?

A. \log_{\frac{1}{2}}(x+1)>0

B. \log_{2}(x+1)>0

C. \log(x)>10

D. \log_{2}x>0

E. \log_{\frac{1}{2}}x<0


6) Puoi affermare che

\log_{a}A>\log_{a}B\ \implies\ A>B

se a vale:

A. -1

B. 0

C. \frac{2}{3}

D. \frac{3}{2}

E. \frac{3}{5}


7) La disequazione

\log(x)\cdot \log(2x)<0

è verificata per:

A. x>1.

B. x>0.

C. \frac{1}{2}<x<1.

D. x<0.

E. 0<x<\frac{1}{2}.

Nell'attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Test su equazioni e disequazioni logaritmiche #31936

avt
Danni
Sfera
1) L'equazione logaritmica

\log(x)-\log(x-1)=\log(3)

è ben definita nel momento in cui l'incognita soddisfa i vincoli ottenuti imponendo la positività degli argomenti dei logaritmi

C.E.: \begin{cases}x>0\\ \\ x-1>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x>0\\ \\ x>1\end{cases}

da cui

C.E.:\ x>0

Per risolvere l'equazione in maniera furba, isoliamo \log(x) al primo membro

\log(x)=\log(x-1)+\log(3)

dopodiché applichiamo la regola sulla somma dei logaritmi al secondo membro così da ricavare l'equazione logaritmica in forma normale

\log(x)=\log(3(x-1))

Uguagliamo gli argomenti

x=3(x-1)

e risolviamo in maniera standard l'equazione di primo grado

x=3x-3\ \ \ \to \ \ \ 2x=3 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3}{2}

Il valore ottenuto è effettivamente soluzione dell'equazione logaritmica giacché soddisfa le condizioni di esistenza della stessa. Possiamo concludere quindi che la risposta corretta è C perché \frac{3}{2}>1.

2) Consideriamo l'equazione logaritmica

\log_{x}(4)+\log_{4}(x)=-2

Prima di eseguire qualsiasi passaggio algebrico, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza.

Affinché \log_{4}(x) abbia senso, richiederemo che il suo argomento sia positivo: imporremo quindi la disequazione

x>0

Affinché \log_{x}(4) abbia senso, dobbiamo richiedere che la base sia maggiore di zero e diversa da 1, x dovrà soddisfare

x>0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 1

dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

Le varie condizioni su x devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiscono il seguente sistema di disequazioni

\begin{cases}x>0\\ \\ x>0\ \wedge \ x\ne 1\end{cases}

da cui deduciamo che l'insieme di esistenza dell'equazione è

C.E.:\ x>0 \ \wedge \ x\ne 1

A questo punto possiamo applicare la formula del cambiamento di base dei logaritmi

\log_{a}(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}

grazie alla quale possiamo esprimere \log_{x}(4) in base 4

\log_{x}(4)=\frac{\log_4(4)}{\log_{4}(x)}=\frac{1}{\log_{4}(x)}\ \ \ \mbox{con} \ x>0, x\ne 1

Tale uguaglianza consente di esprimere l'equazione nella forma

\frac{1}{\log_{4}(x)}+\log_{4}(x)=-2

Procediamo per sostituzione, ponendo t=\log_{4}(x) cosicché l'equazione diventi

\frac{1}{t}+t=-2

Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta nell'incognita t, che per t\ne 0 si può riscrivere come

\frac{1+t^2}{t}=\frac{-2t}{t}

Cancelliamo i denominatori

1+t^2=-2t

e riportiamo l'equazione di secondo grado ottenuta in forma normale

t^2+2t+1=0

Chiaramente potremmo utilizzare la formula del delta per ricavare le soluzioni, però in questo caso possiamo procedere in maniera leggermente differente: il primo membro dell'equazione è a conti fatti un quadrato di binomio dunque scriviamo:

(t+1)^2=0\ \ \ \to \ \ \ t+1=0 \ \ \ \to \ \ \ t=-1

Non ci resta che ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione t=\log_{4}(x), con cui la relazione t=-1 diventa

\log_{4}(x)=-1\ \ \ \to \ \ \ x= 4^{-1}=\frac{1}{4}

Nota: nell'ultimo passaggio, abbiamo utilizzato la definizione di potenza con esponente negativo.

La soluzione dell'equazione è quindi x=\frac{1}{4} e la risposta alla domanda 2 è E.


3) Il grafico di y=\mbox{Log}(x+9) incontra la retta di equazione y=1 nel punto di coordinate (1;1), infatti tale punto è soluzione del sistema di equazioni

\begin{cases}y=\mbox{Log}(x+9)\\ \\ y=1\end{cases}

la cui risolvente è

\mbox{Log}(x+9)=1

Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione logaritmica che è ben definita nel momento in cui l'argomento del logaritmo è positivo, ossia se sussiste la disequazione

x+9>0\ \ \ \to \ \ \ x>-9

Per risolvere l'equazione, è sufficiente passare all'esponenziale in base 10 membro a membro, ricavando così

x+9=10 \ \ \ \to \ \ \ x=1

Scopriamo quindi che l'ascissa del punto di intersezione è x=1, pertanto (1,1) è il punto di intersezione. La risposta è quindi B.


4. Per determinare il campo di esistenza della funzione

y=\log_{2}(\log_{\frac{1}{2}}(x))

bisogna imporre la positività del logaritmo in base 2, ossia deve sussistere la disequazione logaritmica

\log_{\frac{1}{2}}(x)>0

che è equivalente al sistema di disequazioni avente per prima disequazione la condizione di esistenza del logaritmo in base \frac{1}{2}

\begin{cases}x>0\\ \\ x<1\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ 0<x<1

Il campo di esistenza della funzione è quindi Dom=]0,1[ e la risposta è E.


5. Per capire quale tra le disequazioni elencate ammetta come soluzioni x>0 bisogna risolverle. Partiamo dalla prima

\log_{\frac{1}{2}}(x+1)>0

Essa è equivalente al sistema di disequazioni

\begin{cases}x+1>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-1\\ \\ x+1<1 \ \ \ \to \ \ \ x<0\end{cases}

La disequazione è soddisfatta per -1<x<0.

La seconda disequazione

\log_{2}(x+1)>0

ha lo stesso insieme soluzione del sistema di disequazioni

\begin{cases}x+1>0\ \ \ \to \ \ \ x>-1\\ \\ x+1>1\ \ \ \to \ \ \ x>0\end{cases}

da cui x>0. Deduciamo quindi che la disequazione soddisfa le richieste del problema.

A titolo di curiosità, continuiamo con la risoluzione delle disequazioni.

La disequazione logaritmica

\mbox{log}(x)>10

è soddisfatta per x>10^{10}, mentre la disequazione

\log_{2}(x)>0

ha come insieme soluzione x>1. Infine

\log_{\frac{1}{2}}(x)<0\ \ \ \to \ \ \ x>1



6) In accordo con la teoria delle disequazioni logaritmiche, l'implicazione

\log_{a}(A)>\log_{a}(B)\implies A>B

è vera nel momento in cui la base dei due logaritmi è maggiore di 1. Passando a rassegna le possibili soluzioni, scopriamo che a=\frac{3}{2} è l'unica risposta possibile.


7) Analizziamo la disequazione logaritmica

\log(x)\cdot\log(2x)<0

avvalendoci della regola dei segni: studiamo il segno di ciascun fattore

\\ \log(x)>0\ \ \ \to \ \ \  x>1\\ \\ \log(2x)>0\ \ \ \to \ \ \ 2x>1\implies x>\frac{1}{2}

e grazie alla tabella dei segni, possiamo concludere che la soluzione della disequazione è

\frac{1}{2}<x<1

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os