Equazione esponenziale con esponente fratto
Salve! Ho un'equazione esponenziale che mi dà problemi, in questo caso c'è anche un esponente fratto che non mi aiuta per niente nella risoluzione.
Calcolare le soluzioni della seguente equazione esponenziale
Grazie.
Per poter ricavare le soluzioni dell'equazione esponenziale
è sufficiente applicare le proprietà delle potenze che consentono di esprimerla in forma normale.
Prima di procedere con i passaggi algebrici, bisogna imporre le condizioni di esistenza: l'esponente di 
è fratto e l'incognita compare anche a denominatore. Affinché questo termine abbia senso, dobbiamo richiedere che
Imposte le condizioni di esistenza, ritorniamo allo svolgimento dell'equazione.
Il primo passaggio consiste nell'isolare 
al primo membro
Inoltre sfruttando la definizione di potenza con esponente negativo, possiamo esprimere il termine di destra come potenza di base 
, infatti basta considerare il reciproco della frazione 
e cambiare il segno all'esponente:
Siamo quindi autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma
Poiché le esponenziali hanno la medesima base, dobbiamo uguagliare gli esponenti affinché sussista l'uguaglianza, vale a dire:
Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta che possiamo risolvere trasportando tutti i termini al primo
e calcolando il minimo comun denominatore
Una volta moltiplicati i due membri per 
e sommati i termini simili, ricaviamo infine l'equazione pura:
da cui
I due valori rispettano la condizione di esistenza, ergo sono soluzioni dell'equazione iniziale.
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