Equazione esponenziale con esponente fratto

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Equazione esponenziale con esponente fratto #31850

avt
green
Punto
Salve! Ho un'equazione esponenziale che mi dà problemi, in questo caso c'è anche un esponente fratto che non mi aiuta per niente nella risoluzione.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione esponenziale

\left(\frac{2}{5}\right)^{x-1}-\left(\frac{5}{2}\right)^{\tfrac{x-1}{x}}=0

Grazie.
 
 

Equazione esponenziale con esponente fratto #31857

avt
21zuclo
Frattale
Per poter ricavare le soluzioni dell'equazione esponenziale

\left(\frac{2}{5}\right)^{x-1}-\left(\frac{5}{2}\right)^{\tfrac{x-1}{x}}=0

è sufficiente applicare le proprietà delle potenze che consentono di esprimerla in forma normale.

Prima di procedere con i passaggi algebrici, bisogna imporre le condizioni di esistenza: l'esponente di \left(\frac{5}{2}\right)^{\tfrac{x-1}{x}} è fratto e l'incognita compare anche a denominatore. Affinché questo termine abbia senso, dobbiamo richiedere che

C.E.:\ x\ne 0

Imposte le condizioni di esistenza, ritorniamo allo svolgimento dell'equazione.

Il primo passaggio consiste nell'isolare \left(\frac{2}{5}\right)^{x-1} al primo membro

\left(\frac{2}{5}\right)^{x-1}=\left(\frac{5}{2}\right)^{\tfrac{x-1}{x}}

Inoltre sfruttando la definizione di potenza con esponente negativo, possiamo esprimere il termine di destra come potenza di base \frac{2}{5}, infatti basta considerare il reciproco della frazione \frac{5}{2} e cambiare il segno all'esponente:

\left(\frac{5}{2}\right)^{\tfrac{x-1}{x}}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-\tfrac{x-1}{x}}

Siamo quindi autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma

\left(\frac{2}{5}\right)^{x-1}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-\tfrac{x-1}{x}}

Poiché le esponenziali hanno la medesima base, dobbiamo uguagliare gli esponenti affinché sussista l'uguaglianza, vale a dire:

x-1=\frac{1-x}{x}

Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta che possiamo risolvere trasportando tutti i termini al primo

x-1-\frac{1-x}{x}=0

e calcolando il minimo comun denominatore

\frac{x^2-x-1+x}{x}=0

Una volta moltiplicati i due membri per x e sommati i termini simili, ricaviamo infine l'equazione pura:

x^2-1=0

da cui

x^2=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm 1

I due valori rispettano la condizione di esistenza, ergo sono soluzioni dell'equazione iniziale.
Ringraziano: Omega, green, CarFaby

Equazione esponenziale con esponente fratto #31860

avt
green
Punto
Questo sito è incredibile! Grazie, ora ho capito!
Ringraziano: Omega, Danni
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Os