Equazione esponenziale con radicali #31751

avt
green
Punto
Mi sono bloccato su questa equazione esponenziale con basi radicali, non riesco ad arrivare al risultato [x=3]. Potreste aiutarmi?

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

2(√(2)+1) = (√(2))^x+(√(2))^(x-1)

Grazie.
 
 

Equazione esponenziale con radicali #31753

avt
Veny
Cerchio
Quella proposta è un'equazione esponenziale, infatti in:

2(√(2)+1) = (√(2))^(x)+(√(2))^(x-1)

l'incognita compare all'esponente. Sebbene siano presenti i radicali, basta esprimerla in forma normale avvalendosi delle opportune proprietà per ricavare le soluzioni.

Per la proprietà sul quoziente di due potenze che condividono la stessa base, possiamo scrivere l'uguaglianza

(√(2))^(x-1) = ((√(2))^(x))/(√(2))

con cui l'equazione diventa

2(√(2)+1) = (√(2))^(x)+((√(2))^(x))/(√(2))

Tentiamo la via della sostituzione: poniamo

t = (√(2))^(x)

così l'equazione diventa

2(√(2)+1) = t+(t)/(√(2))

Moltiplichiamo il primo e il secondo membro per √(2)

2√(2)(√(2)+1) = √(2)t+t

sommiamo tra loro i monomi simili

2√(2)(√(2)+1) = (√(2)+1)t

e, per una questione più estetica che altro, invertiamo i membri

(√(2)+1)t = 2√(2)(√(2)+1)

A questo punto, isoliamo t a sinistra dell'uguale dividendo i due membri per √(2)+1

t = (2√(2)(√(2)+1))/(√(2)+1) → t = 2√(2)

Il valore ottenuto rappresenta la soluzione dell'equazione in t, mentre noi siamo interessati ai valori di x che soddisfano l'equazione di partenza. Poco male: è sufficiente ricordarci che t = (√(2))^(x) e sostituire nella relazione t = 2√(2), ottenendo l'equazione esponenziale elementare

(√(2))^(x) = 2√(2)

A questo punto interviene la definizione di potenza con esponente fratto

[n]√(a^m) = a^((m)/(n))

che garantisce le seguenti uguaglianze

 (√(2))^(x) = (2^((1)/(2)))^(x) = 2^((x)/(2)) ; 2√(2) = 2·2^((1)/(2)) = 2^(1+(1)/(2)) = 2^((3)/(2))

Esse consentono di riscrivere l'equazione

(√(2))^(x) = 2√(2)

nella forma più comoda

2^((x)/(2)) = 2^((3)/(2))

Poiché le basi sono uguali, l'uguaglianza sussiste se e solo se gli esponenti coincidono, ossia se:

(x)/(2) = (3)/(2) → x = 3

Concludiamo quindi che l'equazione

2(√(2)+1) = (√(2))^(x)+(√(2))^(x-1)

è soddisfatta se e solo se x = 3.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, green
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Os