Equazione esponenziale con radicali

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Equazione esponenziale con radicali #31751

avt
green
Punto
Mi sono bloccato su questa equazione esponenziale con basi radicali, non riesco ad arrivare al risultato [x=3]. Potreste aiutarmi?

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

2(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^x+(\sqrt{2})^{x-1}

Grazie.
 
 

Equazione esponenziale con radicali #31753

avt
Veny
Cerchio
Quella proposta è un'equazione esponenziale, infatti in:

2(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{x}+(\sqrt{2})^{x-1}

l'incognita compare all'esponente. Sebbene siano presenti i radicali, basta esprimerla in forma normale avvalendosi delle opportune proprietà per ricavare le soluzioni.

Per la proprietà sul quoziente di due potenze che condividono la stessa base, possiamo scrivere l'uguaglianza

(\sqrt{2})^{x-1}=\frac{(\sqrt{2})^{x}}{\sqrt{2}}

con cui l'equazione diventa

2(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{x}+\frac{(\sqrt{2})^{x}}{\sqrt{2}}

Tentiamo la via della sostituzione: poniamo

t=(\sqrt{2})^{x}

così l'equazione diventa

2(\sqrt{2}+1)=t+\frac{t}{\sqrt{2}}

Moltiplichiamo il primo e il secondo membro per \sqrt{2}

2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}t+t

sommiamo tra loro i monomi simili

2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}+1)t

e, per una questione più estetica che altro, invertiamo i membri

(\sqrt{2}+1)t=2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)

A questo punto, isoliamo t a sinistra dell'uguale dividendo i due membri per \sqrt{2}+1

t=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\ \ \ \to \ \ \ t=2\sqrt{2}

Il valore ottenuto rappresenta la soluzione dell'equazione in t, mentre noi siamo interessati ai valori di x che soddisfano l'equazione di partenza. Poco male: è sufficiente ricordarci che t=(\sqrt{2})^{x} e sostituire nella relazione t=2\sqrt{2}, ottenendo l'equazione esponenziale elementare

(\sqrt{2})^{x}=2\sqrt{2}

A questo punto interviene la definizione di potenza con esponente fratto

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

che garantisce le seguenti uguaglianze

\\ (\sqrt{2})^{x}=(2^{\frac{1}{2}})^{x}=2^{\frac{x}{2}}\\ \\ \\ 2\sqrt{2}=2\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2^{1+\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}

Esse consentono di riscrivere l'equazione

(\sqrt{2})^{x}=2\sqrt{2}

nella forma più comoda

2^{\frac{x}{2}}=2^{\frac{3}{2}}

Poiché le basi sono uguali, l'uguaglianza sussiste se e solo se gli esponenti coincidono, ossia se:

\frac{x}{2}=\frac{3}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=3

Concludiamo quindi che l'equazione

2(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^{x}+(\sqrt{2})^{x-1}

è soddisfatta se e solo se x=3.

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, green
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Os