Espressione letterale con quadrati di trinomi

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Espressione letterale con quadrati di trinomi #31586

avt
Flower
Punto
Mi serve il vostro intervento per semplificare un'espressione letterale, usando adeguatamente il prodotto notevole relativo al quadrato di un trinomio. Ho tentato di risolverla più volte, però il risultato non torna.

Semplificare la seguente espressione letterale, usando la regola per lo sviluppo del quadrato di trinomio.

(2x+y-1)^2-(2x-y-1)^2-4y(2x-1)

Grazie mille.
 
 

Espressione letterale con quadrati di trinomi #31589

avt
Omega
Amministratore
Prima di semplificare l'espressione algebrica

(2x+y-1)^2-(2x-y-1)^2-4y(2x-1)

mettiamoci da parte e determiniamo gli sviluppi dei quadrati di trinomio.

Il prodotto notevole che consente di determinare lo sviluppo del quadrato di un trinomio è:

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

In altri termini, il quadrato della somma di tre termini coincide con la somma tra il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo e il quadrato del terzo, cui aggiungiamo il doppio prodotto del primo per il secondo, il doppio prodotto del primo per il terzo e il doppio prodotto del secondo per il terzo termine.

Analizziamo il quadrato (2x+y-1)^2 e osserviamo che il trinomio base è composto da tre termini:

A=2x \ \ \ , \ \ \ B=y \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=-1

per cui, una volta sostituiti nella regola, ricaviamo l'espressione

\\ (2x+y-1)^2= \\ \\ = (2x)^2+y^2+(-1)^2+2\cdot (2x)\cdot y+2\cdot (2x)\cdot (-1)+2\cdot y\cdot (-1)=

A questo punto svolgiamo le operazioni tra i monomi, sfruttando come si devono sia le proprietà delle potenze, sia la regola dei segni.

=4x^2+y^2+1+4x y-4x-2y

Nel caso del quadrato (2x-y-1)^2, i termini sono:

A=2x \ \ \ , \ \ \ B=-y \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=-1

che, rimpiazzati nel prodotto notevole, consentono di scrivere:

\\ (2x-y-1)^2=\\ \\ =(2x)^2+(-y)^2+(-1)^2+2\cdot 2x\cdot (-y)+2\cdot 2x\cdot (-1)+2\cdot (-y)\cdot(-1)= \\ \\ = 4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y

I due sviluppi possono essere sostituiti al posto dei quadrati così che l'espressione

(2x+y-1)^2-(2x-y-1)^2-4y(2x-1)=

diventi

=4x^2+y^2+1+4x y-4x-2y-(4x^2+y^2+1-4xy-4x+2y)-4y(2x-1)=

Grazie alla regola dei segni, possiamo eliminare la prima coppia di parentesi tonde: basta cambiare il segno a ciascun termine al loro interno.

=4x^2+y^2+1+4x y-4x-2y-4x^2-y^2-1+4xy+4x-2y-4y(2x-1)=

Eseguiamo il prodotto tra il monomio e il polinomio

=4x^2+y^2+1+4x y-4x-2y-4x^2-y^2-1+4xy+4x-2y-8xy+4y=

e sommiamo tra loro i monomi simili

\\ =(4-4)x^2+(1-1)y^2+1-1+(4+4-8)xy+(-4+4)x+(-2-2+4)y= \\ \\ =0

Abbiamo finito! L'espressione iniziale è uguale a zero.
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