Esercizio sulla potenza di un binomio con frazioni

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Esercizio sulla potenza di un binomio con frazioni #31386

avt
Ransie
Banned
Mi serve il vostro aiuto per calcolare la potenza quarta di un binomio di terzo grado e a coefficienti fratti. So che devo usare il triangolo di Tartaglia per determinare i coefficienti dello sviluppo, però non sono capace a gestire correttamente gli esponenti del risultato.

Sviluppare la seguente potenza di binomio

\left(\frac{1}{3}a-\frac{1}{2}a^3\right)^{4}

Grazie mille.
 
 

Esercizio sulla potenza di un binomio con frazioni #31394

avt
Pi Greco
Kraken
Per calcolare la potenza di binomio

\left(\frac{1}{3}a-\frac{1}{2}a^3\right)^{4}

conviene seguire una strategia ben precisa. Essa prevede di calcolare la potenza quarta del binomio A+B, di sostituire A\ \mbox{con} \ \frac{1}{3}a e B\ \mbox{con} \ -\frac{1}{2}a^3 e di svolgere infine i conti.

I coefficienti dello sviluppo di (A+B)^4 formano la quinta riga del triangolo di Tartaglia:

\begin{array}{l|cccccccccc}n=0&&&&&1&&&&\\n=1 &&&&1&&1&&&\\n=2&&&1&&2&&1&&\\ n=3&&1&&3&&3&&1& \\n=4&1&&4&&6&&4&&1&\end{array}

per cui

1 \ \ \ 4 \ \ \  6 \ \ \ 4 \ \ \ 1

sono i numeri associati alla potenza 4. I termini dello sviluppo sono chiaramente 5 e hanno per parte letterale potenze di A, moltiplicate per le potenze di B e hanno le seguenti caratteristiche:

- gli esponenti di A vanno da quattro a zero, decrescendo di uno a ogni termine;

- gli esponenti di B vanno da zero a quattro, crescendo a ogni termine.

Tali considerazioni consentono di scrivere la seguente relazione:

\\ (A+B)^{4}=\\ \\=1\cdot A^{4}B^{0}+4\cdot A^{3}B^{1}+6\cdot A^{2}B^{2}+4\cdot A^{1}B^{3}+1\cdot A^{0}B^{4}=\\ \\ = A^{4}+4A^3B+6A^{2}B^{2}+4AB^{3}+B^{4}

con la quale calcoleremo \left(\frac{1}{3}a-\frac{1}{2}a^3\right)^{4}.

Per portare a termine l'esercizio, è sufficiente sostituire A con \frac{1}{3}a e B con -\frac{1}{2}a^3 nella relazione

(A+B)^{4}= A^{4}+4A^3B+6A^{2}B^{2}+4AB^{3}+B^{4}

così da ricavare l'espressione

\\ \left(\frac{1}{3}a-\frac{1}{2}a^3\right)^{4}= \\ \\ \\ =\left(\frac{a}{3}\right)^{4}+4\left(\frac{a}{3}\right)^{3}\left(-\frac{a^3}{2}\right)+6\left(\frac{a}{3}\right)^{2}\left(-\frac{a^3}{2}\right)^{2}+4\left(\frac{a}{3}\right)\left(-\frac{a^3}{2}\right)^3+\left(-\frac{a^3}{2}\right)^4=

Svolgiamo i calcoli, aiutandoci con le proprietà delle potenze e scriviamo lo sviluppo richiesto.

\\ =\frac{a^4}{81}+4\cdot\frac{a^3}{27}\cdot\left(-\frac{a^3}{2}\right)+6\cdot\frac{a^2}{9}\cdot\frac{a^{6}}{4}+4\cdot\frac{a}{3}\cdot\left(-\frac{a^9}{8}\right)+\frac{a^{12}}{16}= \\ \\ \\ =\frac{a^4}{81}-\frac{2a^6}{27}+\frac{a^8}{6}-\frac{a^{10}}{6}+\frac{a^{12}}{16}

Ecco fatto!
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Os