Dimostrazione espressione divisibile per 3

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Dimostrazione espressione divisibile per 3 #31367

avt
depe_
Cerchio
Ciao ragazzi, mi aiutate a capire questo esercizio? Ha a che fare con una dimostrazione: in pratica bisogna far vedere che una certa espressione è divisibile per 3.

Dimostrare che (4^n-1) è divisibile per 3, qualunque sia il numero naturale
n diverso da zero.

Grazie mille! emt
 
 

Dimostrazione espressione divisibile per 3 #31372

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao depe_, il metodo più furbo credo sia il seguente.

Sia x\in \mathbb{R} allora vale l'uguaglianza:

x^n-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^{n-2}+ x^{n-1})\quad \forall n\ne 0

Questo vale per ogni x. In particolare se prendiamo x=4 otteniamo che:

4^n-1= (4-1)(1+4+4^2+...+4^{n-2}+ 4^{n-1})=

=3 (1+4+4^2+...+4^{n-2}+ 4^{n-1})


Osserva che 1+4+4^2+...+4^{n-2}+ 4^{n-1} è somma di numeri naturali ed è quindi un numero naturale. Per semplicità chiamiamo

C_n= 1+4+4^2+...+4^{n-2}+ 4^{n-1}

Dunque:

4^n-1= 3 C_n

Poiché tra i fattori primi di 4^n-1 appare il 3 allora necessariamente 4^n-1 è divisibile per 3 emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, 21zuclo

Dimostrazione espressione divisibile per 3 #31375

avt
depe_
Cerchio
Grazie emt
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Os