Esercizio su potenza sesta di un binomio con il binomio di Newton

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Esercizio su potenza sesta di un binomio con il binomio di Newton #31284

avt
Magritte
Punto
Mi serve il vostro aiuto per calcolare la potenza sesta di un binomio di secondo grado, usando la regola sul binomio di Newton.

Usare il binomio di Newton per calcolare la potenza sesta del binomio x^2+1, vale a dire:

(x^2+1)^{6}

Grazie
 
 

Esercizio su potenza sesta di un binomio con il binomio di Newton #31288

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per sviluppare la potenza sesta del binomio x^2+1, potremmo pensare di usare il triangolo di Tartaglia. La traccia, però, è esplicita e fornisce la strategia risolutiva: bisogna usare la regola relativa al binomio di Newton:

(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^{k}

dove n è l'esponente della potenza di binomio, a\ \mbox{e}\  b sono rispettivamente il primo e il secondo addendo del binomio.

Sottolineiamo che per usare la formula, bisogna sapere come si opera con le sommatorie e che cosa indica il simbolo matematico {n\choose k}, detto coefficiente binomiale.

Fissati i numeri interi non negativi k \ \mbox{e} \ n, con k\le n, il coefficiente binomiale è definito dalla relazione

{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

in cui n! è il fattoriale di n.

Nel caso in esame a=x^2 , \  b= 1 \  \mbox{e}  \ n=6 pertanto:

(x^2+1)^{6}=\sum_{k=0}^{6}{6\choose k}(x^2)^{6-k}\cdot 1^{k}=

che, grazie alla proprietà sulla potenza di potenza, diventa:

=\sum_{k=0}^{6}{6\choose k}x^{2\cdot(6-k)}=\sum_{k=0}^{6}{6\choose k}x^{12-2k}=

A questo punto esplicitiamo la sommatoria facendo variare k da 0 a 6:

\\ ={6\choose 0}x^{12-2\cdot 0}+{6\choose 1}x^{12-2\cdot 1}+{6\choose 2}x^{12-2\cdot 2}+{6\choose 3}x^{12-2\cdot 3}+\\ \\ \\ +{6\choose 4}x^{12-2\cdot 4}+{6\choose 5}x^{12-2\cdot 5}+{6\choose 6}x^{12-2\cdot 6}=

da cui

={6\choose 0}x^{12}+{6\choose 1}x^{10}+{6\choose 2}x^{8}+{6\choose 3}x^{6}+{6\choose 4}x^{4}+{6\choose 5}x^{2}+{6\choose 6}

Non ci resta che calcolare i coefficienti binomiali e sostituire i risultati nell'espressione precedente:

\\ {6\choose 0}=\frac{6!}{0!\cdot 6!}=\frac{6!}{1\cdot 6!}=1\\ \\ \\ {6\choose 1}=\frac{6!}{1!\cdot (6-1)!}=\frac{6\cdot 5!}{1!\cdot 5!}=6\\ \\ \\ {6\choose 2}=\frac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2!\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15 \\ \\ \\ {6\choose 3}=\frac{6!}{3!\cdot(6-3)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 3!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6}=20\\ \\ \\ {6\choose 4}=\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 2!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15\\ \\ \\ {6\choose 5}=\frac{6!}{5!\cdot (6-5)!}=\frac{6\cdot 5!}{5!\cdot 1!}=6\\ \\ \\ {6\choose 6}=\frac{6!}{0!\cdot (6-0)!}=\frac{6!}{1\cdot 6!}=1

In definitiva, lo sviluppo della potenza sesta del binomio x^2+1 è:

\\ (x^2+1)^{6}=1\cdot x^{12}+6\cdot x^{10}+15\cdot x^{8}+20\cdot x^{6}+15\cdot x^{4}+6\cdot x^{2}+1= \\ \\ =x^{12}+6x^{10}+15x^{8}+20x^6+15x^4+6x^2+1

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os