Sviluppare un binomio alla potenza 5

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Sviluppare un binomio alla potenza 5 #31217

avt
TommyR22
Cerchio
Non capisco come si calcola la potenza quinta di un binomio a coefficienti fratti, usando il triangolo di Tartaglia. Mi sono attenuto alla teoria, però i conti diventano via via sempre più complicati.

Usare il triangolo di Tartaglia per sviluppare la seguente potenza di binomio:

\left(\frac{1}{2}-a\right)^5

Grazie.
 
 

Sviluppare un binomio alla potenza 5 #31226

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di usare il triangolo di Tartaglia per sviluppare la potenza di binomio

\left(\frac{1}{2}-a\right)^5

La strategia migliore per risolvere il problema consiste nel determinare lo sviluppo della potenza quinta del binomio A+B, i cui coefficienti coincidono con la sesta riga del triangolo di Tartaglia.

Dopo aver ricavato lo sviluppo generico, sostituiamo A con \frac{1}{2} e B con -a e svolgiamo i calcoli, usando le opportune proprietà delle potenze.

Costruiamo il triangolo di Tartaglia fino alla sesta riga

\begin{array}{l|ccccccccccc}n=0&&&&&&1&&&&&\\ n=1&&&&&1&&1&&&&\\ n=2&&&&1&&2&&1&&&\\ n=3&&&1&&3&&3&&1&&\\ n=4&&1&&4&&6&&4&&1&\\ n=5&1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}

I numeri

1 \ \ \ 5 \ \ \ 10 \ \ \ 10 \ \ \ 5 \ \ \ 1

rappresentano i coefficienti dello sviluppo, che è:

\\ (A+B)^{5}=\\ \\=A^{5}B^{0}+5\cdot A^{4}B^{1}+10\cdot A^{3}B^{2} + 10\cdot A^{2}B^{3}+5\cdot A^{1}B^{4}+1\cdot A^{0}B^{5}=\\ \\ =A^{5}+5A^{4}B+10A^{3}B^{2}+10A^{2}B^{3}+5AB^{4}+B^{5}

Prima di continuare con l'esercizio, è opportuno specificare in che modo attribuire gli esponenti alle lettere A\ \mbox{e}\ B. Nulla di complicato, basta attenersi alle seguenti regole:

- gli esponenti di A vanno da cinque a zero, decrescendo di uno a ogni termine;

- gli esponenti di B vanno da zero a cinque, crescendo di uno a ogni termine;

- ogni monomio dello sviluppo deve avere esponente pari a cinque.

A questo punto siamo pronti a calcolare la potenza quinta del binomio \frac{1}{2}-a. Basta rimpiazzare \frac{1}{2} a ogni occorrenza di A e -a a ogni occorrenza di B nella relazione

\\ (A+B)^{5}=\\ \\ =A^{5}+5A^{4}B+10A^{3}B^{2}+10A^{2}B^{3}+5AB^{4}+B^{5}

ottenendo

\\ \left(\frac{1}{2}-a\right)^{5}=\\ \\ \\ {=\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+5\left(\frac{1}{2}\right)^{4}(-a)+10\left(\frac{1}{2}\right)^{3}(-a)^2+10\left(\frac{1}{2}\right)^{2}(-a)^3+5\left(\frac{1}{2}\right)(-a)^4+(-a)^5=}

Non ci resta che svolgere i calcoli, usando le proprietà delle potenze e la regola dei segni, e scrivere lo sviluppo richiesto.

=\frac{1}{32}-\frac{5a}{16}+\frac{5a^2}{4}-\frac{5a^3}{2}+\frac{5a^4}{2}-a^5

Ecco fatto!
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Os