Esercizio sulla regola del trinomio notevole

Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio di quarto grado con la regola del trinomio speciale. Io pensavo che si potesse applicare esclusivamente a polinomi di secondo grado, però la traccia dell'esercizio è esplicita a riguardo. Come devo comportarmi?

Usare la regola del trinomio speciale per scomporre il seguente polinomio:



Grazie mille.

Oltre a fornire il polinomio da scomporre, la traccia del problema fornisce anche la strategia risolutiva: bisogna usare la regola del trinomio speciale, o per meglio dire regola del trinomio notevole.

Ricordiamo che se un trinomio di secondo grado si presenta nella forma



e se esistono due numeri la cui somma coincida con il coefficiente di e il cui prodotto sia uguale al termine noto, vale a dire:



allora il trinomio si scompone secondo la regola:



Dopo questa breve parentesi teorica, possiamo occuparci del nostro problema: dobbiamo scomporre il polinomio



Se osserviamo attentamente, il grado del polinomio è 4, e non 2 come richiesto dal metodo! Poco male, le proprietà delle potenze mettono le cose a posto: esse giustificano l'uguaglianza (regola della potenza di una potenza) per cui siamo autorizzati a scrivere l'uguaglianza:



A questo punto operiamo la sostituzione e scriviamo il polinomio nella variabile



Esso è chiaramente un trinomio di secondo grado, con coefficiente direttivo pari a 1!

Applichiamo la tecnica di scomposizione per il trinomio notevole sul polinomio in : ricerchiamo due numeri tali che la loro somma coincide con il coefficiente di e il loro prodotto con il termine noto:



Osservazione: la positività del prodotto assicura la concordanza di segno tra (sono entrambi positivi o entrambi negativi) e poiché la loro somma è negativa, essi devono essere obbligatoriamente negativi.

Procedendo per tentativi, scopriamo che sono i numeri che fanno al caso nostro, infatti:



Applicando la regola del trinomio notevole, otteniamo la scomposizione del polinomio in :



Attenzione! Dobbiamo ripristinare l'incognita tenendo conto della sostituzione effettuata. Poiché , la scomposizione precedente diventa



Si noti che i polinomi interni alle parentesi tonde sono entrambi differenze di quadrati per cui:



In definitiva, la scomposizione in fattori irriducibili del polinomio è:



Abbiamo finito.