Esercizio sulla regola del trinomio notevole

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Esercizio sulla regola del trinomio notevole #3118

avt
FAQ
Punto
Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio di quarto grado con la regola del trinomio speciale. Io pensavo che si potesse applicare esclusivamente a polinomi di secondo grado, però la traccia dell'esercizio è esplicita a riguardo. Come devo comportarmi?

Usare la regola del trinomio speciale per scomporre il seguente polinomio:

x^4-13x^2+36

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby
 
 

Esercizio sulla regola del trinomio notevole #3126

avt
Ifrit
Ambasciatore
Oltre a fornire il polinomio da scomporre, la traccia del problema fornisce anche la strategia risolutiva: bisogna usare la regola del trinomio speciale, o per meglio dire regola del trinomio notevole.

Ricordiamo che se un trinomio di secondo grado si presenta nella forma

x^2+sx+p

e se esistono due numeri A \ \mbox{e} \ B la cui somma coincida con il coefficiente di x e il cui prodotto sia uguale al termine noto, vale a dire:

A+B=s \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=p

allora il trinomio si scompone secondo la regola:

x^2+sx+p=(x+A)(x+B)

Dopo questa breve parentesi teorica, possiamo occuparci del nostro problema: dobbiamo scomporre il polinomio

x^4-13x^2+36

Se osserviamo attentamente, il grado del polinomio è 4, e non 2 come richiesto dal metodo! Poco male, le proprietà delle potenze mettono le cose a posto: esse giustificano l'uguaglianza x^{4}=(x^2)^2 (regola della potenza di una potenza) per cui siamo autorizzati a scrivere l'uguaglianza:

x^{4}-13x^2+36=(x^2)^2-13x^2+36=

A questo punto operiamo la sostituzione t=x^2 e scriviamo il polinomio nella variabile t

=t^2-13t+36

Esso è chiaramente un trinomio di secondo grado, con coefficiente direttivo pari a 1!

Applichiamo la tecnica di scomposizione per il trinomio notevole sul polinomio in t: ricerchiamo due numeri A \ \mbox{e} \ B tali che la loro somma coincide con il coefficiente di t e il loro prodotto con il termine noto:

A+B=-13 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=36

Osservazione: la positività del prodotto assicura la concordanza di segno tra A \ \mbox{e} \ B (sono entrambi positivi o entrambi negativi) e poiché la loro somma è negativa, essi devono essere obbligatoriamente negativi.

Procedendo per tentativi, scopriamo che A=-9 \ \mbox{e} \ B=-4 sono i numeri che fanno al caso nostro, infatti:

\\ A+B=-9+(-4)=-13 \\ \\ \mbox{e} \\ \\  A\cdot B=(-9)\cdot (-4)=36

Applicando la regola del trinomio notevole, otteniamo la scomposizione del polinomio in t:

t^2-13t+36=(t-9)(t-4)

Attenzione! Dobbiamo ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione effettuata. Poiché t=x^2, la scomposizione precedente diventa

(x^2)^2-13x^2+36=(x^2-9)(x^2-4)=

Si noti che i polinomi interni alle parentesi tonde sono entrambi differenze di quadrati per cui:

=(x-3)(x+3)(x+2)(x-2)

In definitiva, la scomposizione in fattori irriducibili del polinomio è:

x^4-13x^2+36=(x-3)(x+3)(x+2)(x-2)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, frank094, CarFaby
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