Esercizio sulla regola del trinomio notevole

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Esercizio sulla regola del trinomio notevole #3118

FAQ Punto	Avrei bisogno di una mano per scomporre un polinomio di quarto grado con la regola del trinomio speciale. Io pensavo che si potesse applicare esclusivamente a polinomi di secondo grado, però la traccia dell'esercizio è esplicita a riguardo. Come devo comportarmi? Usare la regola del trinomio speciale per scomporre il seguente polinomio: Grazie mille.
	Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby

Esercizio sulla regola del trinomio notevole #3126

Ifrit

Ambasciatore

Oltre a fornire il polinomio da scomporre, la traccia del problema fornisce anche la strategia risolutiva: bisogna usare la regola del trinomio speciale, o per meglio dire regola del trinomio notevole.

Ricordiamo che se un trinomio di secondo grado si presenta nella forma

e se esistono due numeri $A \ \mbox{e} \ B$ la cui somma coincida con il coefficiente di

e il cui prodotto sia uguale al termine noto, vale a dire:

$A+B=s \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=p$

allora il trinomio si scompone secondo la regola:

Dopo questa breve parentesi teorica, possiamo occuparci del nostro problema: dobbiamo scomporre il polinomio

Se osserviamo attentamente, il grado del polinomio è 4, e non 2 come richiesto dal metodo! Poco male, le proprietà delle potenze mettono le cose a posto: esse giustificano l'uguaglianza $x^{4}=(x^2)^2$ (regola della potenza di una potenza) per cui siamo autorizzati a scrivere l'uguaglianza:

$x^{4}-13x^2+36=(x^2)^2-13x^2+36=$

A questo punto operiamo la sostituzione

e scriviamo il polinomio nella variabile

Esso è chiaramente un trinomio di secondo grado, con coefficiente direttivo pari a 1!

Applichiamo la tecnica di scomposizione per il trinomio notevole sul polinomio in

: ricerchiamo due numeri $A \ \mbox{e} \ B$ tali che la loro somma coincide con il coefficiente di

e il loro prodotto con il termine noto:

$A+B=-13 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ A\cdot B=36$

Osservazione: la positività del prodotto assicura la concordanza di segno tra $A \ \mbox{e} \ B$ (sono entrambi positivi o entrambi negativi) e poiché la loro somma è negativa, essi devono essere obbligatoriamente negativi.

Procedendo per tentativi, scopriamo che $A=-9 \ \mbox{e} \ B=-4$ sono i numeri che fanno al caso nostro, infatti:

$\\ A+B=-9+(-4)=-13 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ A\cdot B=(-9)\cdot (-4)=36$

Applicando la regola del trinomio notevole, otteniamo la scomposizione del polinomio in

Attenzione! Dobbiamo ripristinare l'incognita

tenendo conto della sostituzione effettuata. Poiché

, la scomposizione precedente diventa

Si noti che i polinomi interni alle parentesi tonde sono entrambi differenze di quadrati per cui:

In definitiva, la scomposizione in fattori irriducibili del polinomio è:

Abbiamo finito.

Ringraziano: Omega, frank094, CarFaby

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