Scomporre un binomio somma di termini di quarto grado

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Scomporre un binomio somma di termini di quarto grado #31147

avt
robe92
Frattale
Mi servirebbe il vostro aiuto per scomporre un binomio con l'identità di Sophie Germain. A dirvi la verità, ero convinto che il polinomio fosse irriducibile, ma il libro non è d'accordo con me.

Utilizzare l'identità di Sophie Germain per scomporre il seguente binomio nel prodotto di fattori irriducibili.

x^4+4y^4

Grazie.
 
 

Scomporre un binomio somma di termini di quarto grado #31163

avt
Ifrit
Ambasciatore
Oltre a fornirci il polinomio da scomporre, il testo ci impone anche la tecnica di scomposizione da usare: dobbiamo sfruttare l'identità di Sophie Germain per fattorizzare il seguente polinomio

x^4+4y^4=

La strategia risolutiva prevede di usare le proprietà delle potenze per esprimere ciascun addendo in un quadrato perfetto: nella fattispecie, x^4 è il quadrato di x^2, mentre 4y^4 è il quadrato di 2y^2, per cui x^4+4y^4 diventa

=(x^2)^2+(2y^2)^2=

Il prossimo passo è il più delicato: dobbiamo aggiungere e sottrarre il doppio prodotto tra le basi dei quadrati, ossia 2\cdot x^2\cdot (2y^2)=4x^2y^2, così da completare il quadrato di x^2+2y^2

=(x^2)^2+(2y^2)^2+4x^2y^2-4x^2y^2=

I primi tre termini costituiscono lo sviluppo del quadrato del binomio x^2+2y^2, per cui possiamo rimpiazzarli con (x^2+2y^2)^2

=(x^2+2y^2)^2-4x^2y^2=

Ci siamo ricondotti alla differenza di due quadrati - infatti (x^2+2y^2)^2 è il quadrato di x^2+2y^2, mentre 4x^2y^2 è il quadrato di 2xy - pertanto possiamo scomporla nel prodotto della somma tra x^2+2y^2\ \mbox{e} \ 2xy per la loro differenza e scrivere la scomposizione richiesta.

=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os